关于级数∑ₙ≥₀(-1)ⁿ/(2n+1)的黎曼和计算疑问：推导错误在哪？能否用黎曼和求解？

嗨，我来帮你理清这里的问题，顺便讲讲怎么用黎曼和正确求解这个级数~

先看你推导里的核心错误 #

你在把求和式转黎曼和的时候，犯了一个关键的逻辑错误：把求和上限的n和变量替换后的n混在一起，没有正确剥离求和项里的n。

我们一步步拆解：

1. 你给出的等价求和式是对的：
   $$S=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{r=0}^{n} \frac{2n}{(4r+1)(4r+3)}\cdot \frac{1}{n}$$
   先化简求和项，其实$\frac{2n}{(4r+1)(4r+3)}\cdot \frac{1}{n} = \frac{2}{(4r+1)(4r+3)}$，n已经约掉了。而且这个求和式确实是原级数的前$2n+2$项和（因为$\frac{2}{(4r+1)(4r+3)}=\frac{1}{4r+1}-\frac{1}{4r+3}$，求和后就是交替的$\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+...$），当$n→∞$时确实趋向于S，这部分没问题。

2. 但接下来的变量替换出错了：
   你设$\frac{r}{n}=x,r=nx,\frac{1}{n}=dx$，然后直接把分母写成$(4nx+1)(4nx+3)$，得到了带n的积分式。但黎曼和的本质是：当$n→∞$时，求和式必须是$\sum f(x_r)\Delta x$的形式，其中$\Delta x=\frac{1}{n}$，$x_r=\frac{r}{n}$是区间分点，f是不含n的函数。你现在把n留在了积分式里，相当于先做了一个带参数n的积分，再取极限，这完全违背了黎曼和的定义——正确的操作应该是先把求和项改写成$f(x_r)\Delta x$的形式，再让$n→∞$得到积分，而不是反过来。

   你最后得到的极限$\frac{\log3}{4}$是错的，就是因为这个错误的替换逻辑。

怎么用黎曼和正确求解这个级数？ #

这个级数其实就是$\arctan1=\frac{\pi}{4}$，我们可以通过黎曼和计算对应的积分来推导：

我们知道$\arctan x$的导数是$\frac{1}{1+x^2}$，所以：
$$\arctan1 = \int_0^1 \frac{1}{1+x^2}dx$$

现在用黎曼和计算这个积分：
把区间$[0,1]$分成n等份，分点为$x_k=\frac{k}{n}$（$k=1,2,...,n$），每个小区间的长度$\Delta x=\frac{1}{n}$，那么积分的黎曼和为：
$$\lim_{n→∞}\sum_{k=1}^n \frac{1}{1+(x_k)^2}\cdot\Delta x = \lim_{n→∞}\sum_{k=1}^n \frac{1}{1+(k/n)^2}\cdot\frac{1}{n}$$

化简这个求和式：
$$\sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+k2}$$

当$n→∞$时，这个极限就等于积分$\int_0^1 \frac{1}{1+x^{2}dx=\arctan1=\frac{\pi}{4}$，而这正好就是原级数$S=\sum_{n≥0}\frac{(-1)}n}{2n+1}$的值。

另外，也可以通过把原级数拆成两个正项级数的差，再分别用黎曼和处理，但上面的方法是最直接的，因为它把级数和已知的积分（对应arctan函数）联系起来了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Chesx