p进整数环ℤₚ中不含非零整数的不可数子群的分类与构造问题

嗨，这个问题确实很关键，尤其是当你想通过它理解Takasaki函子作用在ℤₚ上得到的quandle结构时——这类子群的存在性和构造思路能帮你打通不少群与quandle之间的关联点。下面我来拆解一下这个问题：

首先确认：这类子群确实存在 #

你提到的“不含非零整数的不可数子群”不仅存在，而且有不少构造方式。首先要明确一个前提：ℤ在ℤₚ中是可数稠密子群，而ℤₚ本身是不可数的（基数为连续统），所以只要能找到一个和ℤ交于平凡子群{0}的不可数子群，就满足你的要求。

具体构造方法 #

这里有两种比较直观的构造思路：

1. 利用ℚₚ的向量空间分解 #

我们知道ℤₚ⊗ℚ=ℚₚ，而ℚₚ作为ℚ上的向量空间，维度是不可数的。我们可以把ℚₚ分解成ℚ⊕V，其中V是ℚₚ的一个不可数维ℚ-子空间（这个分解依赖选择公理）。然后取子群：

H = V ∩ ℤₚ

• 首先，H是ℤₚ的子群：因为V是向量空间，ℤₚ是环，它们的交集对加法和整数乘法封闭，自然是子群。
• 其次，H不含非零整数：假设存在非零整数n∈H，那么n∈ℚ∩V，但ℚ和V的交集是{0}（因为ℚₚ=ℚ⊕V是直和），矛盾。
• 最后，H是不可数的：V是不可数维的，而ℤₚ在ℚₚ中是开集，V∩ℤₚ不可能是可数的（否则V会被可数个形如q+ℤₚ的平移覆盖，而每个平移和V的交集可数，与V不可数矛盾）。

2. 超限归纳构造 #

利用ℤₚ基数为连续统的性质，我们可以枚举ℤₚ中的所有非零整数（可数个，记为{n_k | k∈ℕ}），然后通过超限归纳逐个选取元素加入H：

• 初始步骤：取H₀={0}。
• 归纳步骤：对于每个序数α<连续统，选取一个元素x_α∈ℤₚ，使得x_α不在由H_α∪ℤ生成的子群中，同时确保x_α不会生成任何非零整数。
• 最终H=∪H_α，这个H就是不可数子群，且与ℤ交于{0}。

关于分类的现状 #

遗憾的是，这类子群并没有完整的分类——主要原因是它们大多依赖选择公理，属于“非构造性”的子群，而且很多是非闭的（ℤₚ的闭子群只有0和pⁿℤₚ，而所有pⁿℤₚ都包含非零整数pⁿ，所以满足条件的子群全是非闭的）。

不过我们可以总结几个关键性质：

• 所有这类子群都是ℤₚ的无挠子群（因为ℤₚ本身无挠）。
• 它们的秩（作为ℤ-模）是不可数的（因为可数秩的无挠阿贝尔群是可数的，而我们需要不可数子群）。
• 这类子群与ℤ的和ℤ+H在ℤₚ中是稠密的（因为ℤ本身稠密，而H是子群，所以它们的和的闭包是ℤₚ）。

关联到Takasaki函子的意义 #

你提到的Takasaki函子Tak(G)将阿贝尔群G映射到quandle，运算为x*y = 2y - x。对于G=ℤₚ，Tak(ℤₚ)的结构会依赖ℤₚ的子群分解：不含非零整数的子群H对应的quandle Tak(H)，其元素不会和Tak(ℤ)中的元素有“重叠”（因为H∩ℤ={0}），这可能帮你分析Tak(ℤₚ)中quandle的分解或特殊子quandle的性质。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Alex Byard