探讨计算隐函数$f(x)=\cos(x)+\sin(f(x))$在$[-\pi/2, \pi/2]$上的积分（对应图形面积）的非近似解析方法

嘿，我最近在琢磨怎么算这个看起来像圆形的图形的面积，对应的隐函数是$y = \cos(x) + \sin(y)$。先跟你唠唠我一开始的思路，看看能不能找到不依赖数值近似的解析方法：

首先我先算了这个隐函数的导数，过程是这样的：
$$\begin{align} y &= \cos(x)+\sin(y) \ \mathrm{d}y &= -\mathrm{d}x \sin(x)+\mathrm{d}y \cos(y) \ \mathrm{d}y (\cos (y) -1) &= \mathrm{d}x \sin (x) \ \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= \dfrac{\sin (x)}{\cos(y)-1} \end{align}$$

接着我想到构造一条参数曲线$r(t)=\begin{bmatrix} x(t) \ y(t) \end{bmatrix}$，让它的导数和刚才的隐导数对应上，也就是$r'(t)=\begin{bmatrix} x'(t) \ y'(t) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \cos(y(t))-1 \ \sin(x(t)) \end{bmatrix}$。我还把向量场$\begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} \cos(y)-1 \ \sin(x) \end{bmatrix}$叠到原函数图像上看了看，发现导数向量是沿着图形逆时针方向的。

这时候我突然想到格林公式：$\displaystyle \oint_C \vec{F} \cdot \vec{dr} = \iint_R \nabla \times \vec{F} dA$，说不定能用来搞点事情。比如选向量场$\vec{F}(x,y) = \begin{bmatrix}0\x\end{bmatrix}$，它的二维旋度（对应3D里的$\hat{k}$分量）是1，这样理论上就能用线积分来计算面积了。但到这儿我就卡壳了，一堆半成型的想法凑不出完整的解法。

当然，我知道有一种比较“无聊”的办法：把方程转成关于y的形式，得到$f(y) = \cos^{-1} (y - \sin(y))$，先近似求出图形顶部的y值a——也就是解方程$a = \cos(0) + \sin(a) \implies a = 1 + \sin a$，然后用积分$\text{Area} = 2\displaystyle \int_0^a \cos^{-1} (y - \sin(y)) \mathrm{d}y$去做数值近似，最后能得到一个精确到很多位的结果：$4.9296448613689990829170456909320900725529417147308463240261037884$。但这种纯数值的方法实在没什么意思，有没有更巧妙的解析思路呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Nεo Pλατo