能否在边界积分条件下应用变分法基本引理推导∂M上Ke^f=1的结论？

当然可以！而且你甚至可以结合已有的非负条件更直接地得到结论，下面给你拆解一下：

关于变分法基本引理的适用性 #

• 首先，$Ke^f - 1$在$\partial M$上是光滑函数：因为$f \in C^\infty(\overline{M})$，$\partial M$作为紧致Riemannian流形的边界，$f$限制到边界上后自然也是光滑的，加上常数$K$的运算，结果依然光滑。
• 变分法基本引理有一个适配于边界流形的版本：若连续（这里我们的函数更强，是光滑）函数$g$定义在紧致光滑流形$\partial M$上，且对所有$\varphi \in C^1(\overline{M})$（等价于对所有$\varphi|{\partial M} \in C^1(\partial M)$，因为任何$C^1(\partial M)$的函数都可以通过延拓定理扩展到$\overline{M}$上的$C^1$函数），满足$\int{\partial M} \varphi^2 g , d\sigma = 0$，则$g \equiv 0$在$\partial M$上。
• 你的情况完全满足这个引理的所有条件，所以直接可以得出$Ke^f - 1 = 0$在$\partial M$上的结论。

结合非负性的更直接推导 #

你已经知道$Ke^f - 1 \geq 0$在$\partial M$上，结合这个条件的话，不用引理也能快速推导：

• $\varphi^{2$是非负函数，所以$\varphi}2(Ke^f - 1)$是非负的连续函数（两个连续非负函数的乘积依然连续非负）。
• 对于紧致流形上的连续非负函数，积分等于0当且仅当函数处处为0：假设存在某点$p \in \partial M$使得$(Ke^f - 1)(p) > 0$，由连续性，存在$p$的一个邻域$U \subset \partial M$，使得在$U$内$Ke^f - 1 > c > 0$（$c$是某个正数）。我们可以取一个$C^1(\overline{M})$的函数$\varphi$，让它在$U$内非负、在$p$附近取值为1，其他区域光滑衰减到0。此时积分$\int_{\partial M} \varphi^2(Kef - 1)d\sigma$至少等于$c \cdot \text{Vol}(U')$（$U'$是$U$内$\varphi=1$的子区域），显然大于0，和题设的积分等于0矛盾。
• 你担心的“几乎处处为0推不出处处为0”在这里不成立，因为$Ke^f - 1$是连续函数——连续函数只要在一个稠密子集上为0（几乎处处为0就满足这个条件，因为Lebesgue测度在光滑流形上是正则的，测度为0的集合没有内点，所以为0的点是稠密的），就必然处处为0。

总结一下：不管是用变分法基本引理，还是结合非负性+连续性的性质，都能稳稳得出$Ke^f = 1$在$\partial M$上的结论，完全不用担心正确性~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者TwainNick