从(0,1)到ℝ的连续双射的逆连续性证明及其他方法探讨

首先，先明确问题核心：已知$f: (0,1) \to \mathbb{R}$是连续双射（既单射又满射），要证明其逆函数$f^{-1}: \mathbb{R} \to (0,1)$也是连续的。下面先把你提到的单调性方法讲透，再补充几种其他的证明思路~

你提到的单调性方法（最经典的思路） #

这个思路的核心分为两步：

• 第一步：证明连续双射$f$必然是严格单调的
  假设$f$不是严格单调的，那会存在$(0,1)$里的三个点$a < b < c$，使得$f(b)$既大于$f(a)$和$f(c)$，又小于$f(a)$和$f(c)$（也就是出现“先增后减”或“先减后增”的波动）。根据连续函数的介值定理，对于介于$\min(f(a),f(c))$和$\max(f(a),f(c))$之间的某个值$y$，会找到两个不同的点$x_1 \in (a,b)$和$x_2 \in (b,c)$，使得$f(x_1)=f(x_2)=y$——这直接和$f$是单射矛盾。所以$f$必须是严格单调的（严格递增或严格递减）。
• 第二步：证明严格单调双射的逆函数连续
  因为$f$严格单调，其逆函数$f^{{-1}$自然也严格单调（和$f$同增减性）。又因为$f$是满射，$f}{-1}$的定义域是整个$\mathbb{R}$。对于严格单调函数来说，只要它的值域是连续区间（这里$f^{{-1}$的值域是$(0,1)$，是连续的开区间），就不可能有间断点——严格单调函数的间断点只能是跳跃间断点，若存在跳跃间断点，值域必然会出现“空隙”，但$(0,1)$没有空隙，因此$f}{-1}$一定连续。

其他证明方法 #

方法1：利用拓扑学中连续函数的等价定义 #

要证明$f^{{-1}$连续，根据拓扑定义，只需验证：**对于$(0,1)$中的任意开集$U$，$(f}{-1})^{-1}(U) = f(U)$是$\mathbb{R}$中的开集**。

• $(0,1)$中的所有开集都能拆成若干开区间的并集，所以我们只需证明任意开区间$(a,b) \subset (0,1)$的像$f((a,b))$是$\mathbb{R}$中的开集。
• 结合前面的结论，$f$是严格单调连续的，所以$f((a,b))$必然是开区间$(f(a),f(b))$（若$f$递增）或$(f(b),f(a))$（若$f$递减），而开区间本身就是$\mathbb{R}$中的开集。
• 若干开集的并集还是开集，因此$f(U)$是开集，满足连续函数的拓扑定义，故$f^{-1}$连续。

方法2：利用序列收敛的定义 #

要证明$f^{{-1}$连续，等价于：**对任意$\mathbb{R}$中收敛到$y$的序列$y_n$，对应的$f}{-1}(y_n)$必然收敛到$f^{-1}(y)$**。

• 假设这个结论不成立，即存在序列$y_n \to y$，但$f^{{-1}(y_n)$不收敛到$f}{-1}(y)$。因为$(0,1)$是有界区间，根据Bolzano-Weierstrass定理，$f^{{-1}(y_n)$一定存在一个收敛子列$f}{-1}(y_{n_k}) \to x$，且$x \neq f^{-1}(y)$。
• 因为$f$是连续的，所以$\lim_{k \to \infty} f(f^{-1}(y_{n_k})) = f(x)$，而左边就是$\lim_{k \to \infty} y_{n_k} = y$，所以$f(x)=y$。
• 但$f$是单射，$f(x)=y=f(f^{{-1}(y))$意味着$x=f}{-1}(y)$，这和$x \neq f^{{-1}(y)$矛盾。因此假设不成立，$f}{-1}$连续。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者nkh99