基于均值与中位数的竞赛录取概率计算：非组合数学解法及Python实现问询

Lucas是一名学生，他参加了一场总计2876人的数学竞赛（除他外还有2875名选手），所有参赛者的排名均唯一，排名越接近1代表成绩越好。他的最终排名是1947，这个排名有机会让他获得某所学校的录取资格。

为了估算自己能拿到梦校录取的概率，他查阅了去年的竞赛录取数据，整理出以下关键信息：

• 去年竞赛总人数同样为2876人
• 目标学校每年固定录取96人
• 去年录取学生的中位数排名为1060（理论上，有48名录取学生的排名≤1060，另外48名录取学生的排名≥1060）
• 学校会对录取学生的平均排名进行向上取整，去年公布的平均排名是1051，Lucas推测真实的平均排名区间为**[1051, 1052)**

核心问题 #

基于这些信息，能否计算出如果放在去年的录取规则下，Lucas获得录取的概率？如果可以的话，这个概率具体是多少？

个人思路与困惑 #

我认为这是一道组合数学方向的练习题。已知录取学生的平均排名$m$落在区间$[1051, 1052)$，我们设录取的96名学生的排名为$x_1,\dots,x_{96}$，这些排名均为$[1,2876]$范围内的不同整数，需满足：

• $x_1,\dots,x_{47} \in [1, 1059]$
• $x_{48} = 1060$
• $x_{49},\dots,x_{95} \in [1061, 2876]$
• $x_{96} \in [1, 2876]$
• $\sum x_i / 96 = m$

从组合数学的角度，理论上可以先计算满足上述求和条件的所有可能组合数，再计算其中包含排名1947（且1947属于$x_{49},\dots,x_{96}$中的某一个）的组合数，最后用后者除以前者得到概率。但我觉得这种计算方式过于繁琐，想知道有没有更简便、常规的解法，同时也好奇能不能用Python来实现这个计算。

补充录取规则说明 #

这个录取体系并非只针对单一学校。具体流程为：学校会先询问排名第1的学生是否愿意入学，如果对方同意，剩余录取名额减1，再询问下一名选手；如果对方拒绝，录取名额保持不变，直接询问下一名选手。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Jotadiolyne Dicci