关于函数期望公式推导的疑问及正式证明请求

嘿，这个问题问得特别好——很多刚入门概率论的同学都会有这种直觉上的误区，咱们一步步把它掰扯清楚。

你觉得直接把$g(X)$替换原期望定义里的$X$就完事了，这个想法的核心问题在于：期望的定义是针对随机变量的「取值集合」和「对应概率」来构建的，但$g(X)$作为新的随机变量，它的取值集合和原$X$的取值集合可能并不一一对应，对应的概率计算也不能直接照搬原$X$的概率，这层逻辑关系需要严谨推导，不能直接跳步。

举个简单例子：假设$X$的取值是1和2，$g(X)=X^2$，那$g(X)$的取值就是1和4，对应的概率分别是$P(X=1)$和$P(X=2)$，这时候直接替换好像没问题；但如果$g(X)=|X-1.5|$，那$X=1$和$X=2$时$g(X)$都等于0.5，这时候$g(X)=0.5$的概率是$P(X=1)+P(X=2)$。从$g(X)$的期望定义出发，应该是$0.5*(P(X=1)+P(X=2))$，而用$\sum g(x)P(X=x)$计算的话是$0.5P(X=1)+0.5P(X=2)$，两者数值相等，但推导过程不能直接默认它们等价，必须证明这种求和方式的转换是成立的。

下面给你一个离散随机变量场景下的正式证明：

假设$X$是离散型随机变量，所有可能取值为$x_1, x_2, x_3,...$，对应的概率为$P(X=x_i)=p_i$。令$Y = g(X)$，$Y$的所有不同取值为$y_1, y_2, y_3,...$，对每个$y_j$，定义集合$S_j = {x_i \mid g(x_i)=y_j}$（也就是所有让$g(X)$等于$y_j$的$X$的取值）。

根据期望的原始定义，$Y$的期望为：
$$E(Y) = \sum_{j=1}^{\infty} y_j P(Y=y_j)$$
而$P(Y=y_j)$本质上是$X$取到$S_j$中任意值的概率，即：
$$P(Y=y_j) = P(X \in S_j) = \sum_{x_i \in S_j} P(X=x_i)$$
把这个代入$E(Y)$的表达式：
$$E(Y) = \sum_{j=1}^{\infty} y_j \left( \sum_{x_i \in S_j} P(X=x_i) \right)$$
因为对所有$x_i \in S_j$，都有$y_j = g(x_i)$，所以我们可以把双层求和拆成对所有$x_i$的单层求和（相当于把每个$y_j$对应的项展开，合并到对应的$x_i$上）：
$$E(Y) = \sum_{i=1}^{\infty} g(x_i) P(X=x_i)$$
这样就严谨地证明了$E(g(X)) = \sum_{x=1}^{\infty} g(x) P(X=x)$和期望原始定义的等价性。

最后补充一句：你的直觉方向完全正确，结果确实一致，但数学里的“替换”需要逻辑支撑，尤其是当$g$不是一一映射的时候，必须证明两种求和方式的等价性——这就是教授说“需要用定义证明但不太容易”的原因，核心是要处理好取值集合的对应关系，不能直接跳步。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Algo