求向量空间V的所有A-子模（A为对角矩阵环）

嗨，我来帮你彻底理清这个问题～首先先明确下问题背景：

设$V$是域$k$上的$n$维向量空间，基为${v_1,\dots,v_n}$；$A$是$k$上所有$n\times n$对角矩阵构成的环，$V$作为$A$-模的作用定义为：
$$\text{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\cdot(a_1v_1+\cdots+a_nv_n)=(\lambda_1a_1v_1+\cdots+\lambda_na_nv_n)$$
需要找出$V$的所有$A$-子模。

你已经想到的那些由单个基向量、多个基向量张成的子空间确实都是$A$-子模，而且我可以告诉你：不存在其他的$A$-子模了，所有$A$-子模都属于你想到的这类，下面给你一步步解释原因：

假设$W$是$V$的任意一个$A$-子模（可以是零子模）。如果$W$是零子模，那它对应基向量的空子集张成的空间；如果$W$非零，任取一个非零元素$w = c_1v_1 + c_2v_2 + \dots + c_nv_n \in W$，其中至少有一个系数$c_i \neq 0$（比如$c_1 \neq 0$）。

现在我们用对角矩阵$\text{diag}(1,0,\dots,0)$作用在$w$上：
$$\text{diag}(1,0,\dots,0)\cdot w = c_1v_1$$
因为$W$是$A$-子模，对$A$的作用封闭，所以$c_1v_1$必须在$W$里。又因为$k$是域，$c_1$有逆元$c_1^{{-1}$，而$A$里包含纯量矩阵$\text{diag}(c_1}{-1},c_1^{{-1},\dots,c_1}{-1})$，用这个矩阵作用在$c_1v_1$上，就得到$v_1 = c_1^{-1}\cdot c_1v_1$，所以$v_1$也属于$W$。

用同样的方法，对于$w$中任何系数非零的$v_j$，我们都可以构造一个只有第$j$个对角元为1、其余为0的对角矩阵，作用在$w$上得到$c_jv_j \in W$，再通过纯量矩阵的作用得到$v_j \in W$。

这就说明$W$一定是由那些在$w$中系数非零的基向量张成的子空间。反过来，任何由基向量子集张成的子空间，显然都对$A$的作用封闭——因为对角矩阵的作用只是单独缩放每个基向量，不会跳出这个子集张成的空间。

所以最终结论可以总结为：

• 所有$A$-子模就是$V$中所有由${v_1,\dots,v_n}$的某个子集张成的子空间，包括零子空间（对应空子集）和$V$本身（对应全子集）。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者confused