关于正实数分式辅助不等式的构思思路及推导方法问询

各位好，我最近碰到了这么一道不等式证明题：

已知 (a,b,c>0)，需要证明：
$$\frac{a}{\sqrt{a^{2+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b}2+8ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\geq 1$$

在一份给出的解答里，用到了一个看起来很关键的辅助不等式：
$$\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}\geq \frac{a^{1/3}}{a{1/3}+b^{1/3}+c{1/3}}$$

我有点摸不着头绪，想请教大家：这个辅助不等式是怎么构思出来的？又该怎么推导证明它成立呢？

非常感谢各位的解答！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ttp266