关于在SAGE/GAP中获取SL₂(ℤ/4ℤ)的所有不可约表示对特定矩阵的像的技术问询

嘿，这个需求完全可以用GAP或者Sage轻松实现！我给你分别写好两种工具的代码，直接运行就能得到你要的所有不可约表示对那个幺幂矩阵的像：

使用GAP实现 #

GAP对有限群表示的支持非常直接，步骤很清晰：

1. 先构造目标群$\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})$
2. 定义你要作用的矩阵
3. 获取群的所有不可约表示
4. 遍历每个表示，计算矩阵在该表示下的像

直接运行下面的GAP代码即可：

# 构造SL₂(ℤ/4ℤ)群
G := SL(2, ZmodnZ(4));
# 定义目标矩阵
m := Matrix(ZmodnZ(4), [[1, 1], [0, 1]]);
# 获取所有不可约表示
irs := IrreducibleRepresentations(G);

# 遍历每个表示并输出像
for i in [1..Length(irs)] do
    rep := irs[i];
    img := Image(rep, m);
    Print("不可约表示 ", i, ":\n");
    Print(img, "\n\n");
od;

这里IrreducibleRepresentations会返回群的所有不可约表示同态，Image(rep, m)就是把矩阵m通过该表示映射后的结果，直接打印就能看到对应的矩阵像。

使用Sage实现 #

Sage本身集成了GAP的功能，同时提供了更简洁的Python风格接口：

1. 构造群$\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})$
2. 定义目标矩阵
3. 获取所有不可约表示
4. 遍历每个表示，计算矩阵的像

运行下面的Sage代码：

# 构造SL₂(ℤ/4ℤ)群
G = SL(2, Zmod(4))
# 定义目标矩阵
m = matrix(Zmod(4), [[1, 1], [0, 1]])
# 获取所有不可约表示
irs = G.irreducible_representations()

# 遍历每个表示并输出像
for idx, rep in enumerate(irs, 1):
    img = rep(m)
    print(f"不可约表示 {idx}:")
    print(img)
    print("\n")

Sage里的irreducible_representations()方法返回表示对象，直接把群元素（也就是你的矩阵）传给表示对象，就能得到对应的像，用法非常直观。

如果需要额外的信息，比如每个表示的维数、特征标值，你可以在循环里加上类似print(f"维数: {rep.dimension()}")或者print(f"特征标值: {rep.character()(m)}")的代码来扩展输出。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者dragoboy