关于狄拉克双密度δ(x,x')首自变量标量密度权重为0的含义问询

我在研究哈密顿力学中的泊松括号关系时，接触到了狄拉克双密度$\delta(x,x')$——具体是在一篇论文的第22页里遇到的。作者提到这个双密度有个特殊的性质：它在第一个自变量上是权重为0的标量密度，在第二个自变量上则是权重为1的标量密度。

我能理解第二个性质的含义，因为它对应着积分关系 $f(x)=\int f(x')\delta(x,x')dx'$，但始终搞不清楚第一个自变量权重为0到底是什么意思，有没有大佬能帮忙解释一下？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者DeltaTron