求分段函数在区间[-1,0]上的原函数

首先，在区间[-1,0)上x是负数，所以|x|=-x，我们可以把f(x)改写为：
$$f(x) = -(-x)^{0.5}\cos\left(\frac{1}{x}\right) -1.5(-x)^{0.5}\sin\left(\frac{1}{x}\right)$$

你尝试的$g(x) = -x^{{1.5}\sin\left(\frac{1}{x}\right)$其实是针对x>0的情况——毕竟x是负数时x}1.5是虚数，没法直接用在[-1,0]区间里。我们可以把它调整为实数形式：$G(x) = -(-x)^{1.5}\sin\left(\frac{1}{x}\right)$（x≠0），对它求导看看：
$$G'(x) = -1.5(-x)^{0.5}\sin\left(\frac{1}{x}\right) - \frac{\cos\left(\frac{1}{x}\right)}{(-x)^{0.5}}$$

对比$f(x)$和$G'(x)$就能发现，两者的正弦项是匹配的，但余弦项的形式不一样：$f(x)$里是$-(-x)^{{0.5}\cos\left(\frac{1}{x}\right)$，而$G'(x)$里是$-\frac{\cos\left(\frac{1}{x}\right)}{(-x)}{0.5}}$。

遗憾的是，这两个余弦项的差对应的积分$\int \cos\left(\frac{1}{x}\right)\left( \frac{1}{(-x)^{0.5}} - (-x)^{0.5} \right)dx$没法用初等函数表示，也就是说$f(x)$的原函数不能写成我们熟悉的初等函数形式。

不过如果题目允许用非初等积分来表示的话，[-1,0]上的原函数可以写成：
$$F(x) = -(-x)^{1.5}\sin\left(\frac{1}{x}\right) + \int_{-1}^x \cos\left(\frac{1}{t}\right)\left( \frac{1}{(-t)^{0.5}} - (-t)^{0.5} \right)dt + C$$
这里C是任意常数，而且因为$\lim_{x\to0} -(-x)^{1.5}\sin\left(\frac{1}{x}\right)=0$，积分部分在x→0时也收敛，所以可以补充定义$F(0)=0$，让它在整个[-1,0]上连续可导。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Staltus