斯皮瓦克《微积分》第22章问题27e)的两处证明疑问
我最近在啃斯皮瓦克《微积分》第22章的问题27e)，题目要求证明：如果${x_n}$是由不同实数组成的序列，$A$是有界集合且$A={x_n: n\in\mathbb{N}}$，那么$$\limsup_{n\to\infty} x_n=\limsup A$$
先明确两个关键定义：
- $\limsup A$是$A$的所有几乎上界的下确界；而几乎上界$y$的定义是：$A$中满足$x\geq y$的元素只有有限个。
- $\limsup_{n\to\infty} x_n$的定义是$\lim_{n\to\infty}y_n$，其中$y_n=\mathrm{sup}{x_n,x_{n+1},\ldots}$（也就是从第$n$项开始的所有后续项的上确界）。
证明过程里有这么一段推导：
令$l=\limsup_{n\to\infty} x_n=\lim_{n\to\infty}y_n$。如果$a<l$，那么对所有$n$都有$a<y_n$。因此，存在无穷多个$x_n$满足$a<x_n$，所以$a$不是$A$的几乎上界。
这里我有两个疑问，下面逐个梳理清楚：
疑问1：为什么$a<x_n$对无穷多个$x_n$成立？
要搞懂这个，得结合$y_n$的性质和上确界的定义来拆解：
- 首先，${y_n}$是有界递减序列：因为$y_n$是${x_n,x_{n+1},\ldots}$的上确界，$y_{n+1}$是${x_{n+1},x_{n+2},\ldots}$的上确界，相当于$y_n$去掉$x_n$后的上确界，所以必然有$y_{n+1}\leq y_n$；又因为$A$是有界集，所以所有$y_n$都有界。
- 递减有界序列的极限等于它的下确界，也就是$l=\lim_{n\to\infty}y_n=\inf{y_n: n\in\mathbb{N}}$。
- 现在$a<l$，而$l$是${y_n}$的下确界（最大的下界），这意味着每一个$y_n$都大于$a$——毕竟如果存在某个$y_n\leq a$，那$a$就会是${y_n}$的一个下界，比$l$还大，和$l$是下确界矛盾。
- 接下来看$y_n$的定义：它是${x_n,x_{n+1},\ldots}$的上确界。根据上确界的定义：上确界是集合的最小上界，如果$y_n>a$，那这个集合里至少存在一个元素大于$a$（不然的话，集合里所有元素都$\leq a$，那$y_n$作为上确界也会$\leq a$，和$y_n>a$矛盾）。
- 最后我们可以递归地找出无穷多个这样的$x_n$：
- 对$n=1$，$y_1>a$，所以${x_1,x_2,\ldots}$里有某个$x_{k_1}>a$（$k_1\geq1$）；
- 对$n=k_1+1$，$y_{k_1+1}>a$，所以${x_{k_1+1},x_{k_1+2},\ldots}$里有某个$x_{k_2}>a$（$k_2>k_1$）；
- 以此类推，我们能找到无穷多个下标$k_1<k_2<k_3<\dots$，对应的$x_{k_i}>a$。
这样就得出结论：存在无穷多个$x_n$满足$a<x_n$。
疑问2：为什么要求${x_n}$是不同的实数序列？
这个问题的核心是：如果序列里有重复元素，集合$A$会把重复元素合并成一个，导致$A$的$\limsup$和序列的$\limsup$可能不一致，举个反例就一目了然：
比如构造序列${x_n}$：$1,0,1,0,1,0,\dots$（交替取1和0），这时候集合$A={0,1}$，是有限集。
先算$\limsup A$：根据几乎上界的定义，任何实数$y$都是$A$的几乎上界——因为$A$只有两个元素，不管$y$取什么值，$A$中满足$x\geq y$的元素最多只有2个（有限个）。那所有几乎上界的下确界就是$-\infty$。
再算序列的$\limsup_{n\to\infty}x_n$：$y_n=\sup{x_n,x_{n+1},\dots}$，不管$n$取多少，$y_n$都是1（因为序列里永远有1出现），所以$\lim_{n\to\infty}y_n=1$。
这时候$\limsup_{n\to\infty}x_n=1$，但$\limsup A=-\infty$，显然不相等，违背了题目的结论。
而当序列的元素都是不同的实数时，集合$A$是无穷有界集，序列的聚点和$A$的聚点完全一致（因为每个元素在$A$中只出现一次，不会因为重复导致聚点信息丢失），这时候$\limsup$的定义才能完美对应上，保证$\limsup_{n\to\infty}x_n=\limsup A$成立。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者psie
