使用良序原理证明大于1的自然数为质数或质数乘积的后续推导问询

嘿，你已经迈出了超关键的第一步！现在咱们接着用良序原理把这个证明补完整，其实只需要把你现有的结论再延伸一下，结合归纳或者嵌套的良序应用就行，我给你一步步捋清楚：

首先，先肯定你的前期成果：你已经成功证明了任何大于1的合数都存在至少一个质因数，这是整个证明的核心基础。接下来要推导这个数能完全分解成质数的乘积，咱们可以这么做：

• 定义集合 $S$：所有大于1且无法表示为质数乘积的自然数的集合。我们的目标是证明 $S$ 是空集。
• 假设 $S$ 非空，根据良序原理，$S$ 必然存在一个最小元素，设为 $m$。
• 因为 $m \in S$，所以 $m$ 不可能是质数（质数本身就是单个质数的乘积，显然不属于 $S$），因此 $m$ 是合数。根据你之前的结论，$m$ 有一个质因数 $p$，也就是说存在自然数 $k$，满足 $m = p \times k$，并且 $1 < k < m$。
• 现在看 $k$：因为 $m$ 是 $S$ 里的最小元素，而 $k$ 比 $m$ 小，所以 $k$ 肯定不在 $S$ 里。这意味着 $k$ 要么是质数，要么能表示成质数的乘积。
  • 如果 $k$ 是质数，那 $m = p \times k$ 就是两个质数的乘积，符合“质数乘积”的形式；
  • 如果 $k$ 是质数的乘积（比如 $k = q_1 q_2 ... q_n$，其中每个 $q_i$ 都是质数），那 $m = p q_1 q_2 ... q_n$ 自然也是质数的乘积。
• 这就和“$m$ 属于 $S$（无法表示为质数乘积）”矛盾了，所以我们最初的假设不成立，$S$ 一定是空集。

到这里就证明了所有大于1的自然数要么是质数，要么能表示为质数的乘积。如果还要补全你提到的“唯一乘积”（算术基本定理的唯一性部分），同样可以用良序原理推导：

• 假设存在大于1的自然数能表示为两种不同的质数乘积，取其中最小的那个数 $n$，写成 $n = p_1 p_2 ... p_a = q_1 q_2 ... q_b$，其中两组质数不完全相同。
• 因为质数 $p_1$ 整除 $n$，所以它必然整除某个 $q_j$（质数的整除性质：若质数整除若干质数的乘积，则它必整除其中一个），不妨设 $p_1 = q_1$。
• 两边同时除以 $p_1$，得到 $n/p_1 = p_2 ... p_a = q_2 ... q_b$，这是一个比 $n$ 更小的数，却也有两种不同的质数分解，和 $n$ 是“最小的这类数”矛盾。因此唯一性得证。

这样整个算术基本定理的存在性和唯一性就都用良序原理证明完成啦，你之前的步骤已经把最难的地基打好了，只需要把这个逻辑延伸到整个数的分解上就行～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Mani