关于证明极限序数α满足cf(ℵ_α)=cf(α)的共尾性证明疑问

嘿，我正在尝试证明下面这个集合论里的引理，目前卡在了关键一步，想请大家帮忙梳理思路：

待证引理 #

设$\alpha$是极限序数，则$cf(\aleph_{\alpha}) = cf(\alpha)$。

用到的定义 #

我基于以下两个定义展开推导：

• 共尾子集定义：设$(\mathbb{P}, \preceq)$是偏序集，子集$A \subseteq \mathbb{P}$是共尾的，当且仅当对所有$p \in \mathbb{P}$，存在$q \in A$使得$p \preceq q$。
• 共尾性定义：设$\alpha$是序数，$\alpha$的共尾性是满足以下条件的最小序数$\lambda$：存在函数$f: \lambda \to \alpha$，其值域在$(\alpha, \leq)$中共尾。我们用$cf(\alpha)$表示$\alpha$的共尾性。

可用的辅助引理 #

还有一个已证的实用引理可以调用：

设$\alpha$是非零序数，则存在严格递增函数$f: cf(\alpha) \to \alpha$，其值域在$(\alpha,\leq)$中共尾。

我的证明思路与卡点 #

我的计划是通过双向不等式推导完成证明：先证$cf(\aleph_{\alpha}) \leq cf(\alpha)$，再证$cf(\alpha) \leq cf(\aleph_{\alpha})$。目前在处理第一个不等式时遇到了卡点，具体思路如下：

假设$f: cf(\alpha) \to \alpha$是满足辅助引理的严格递增函数（即它的值域在$(\alpha, \leq)$中共尾），再定义函数$g: \alpha \to \aleph_{\alpha}$，使得对所有$\theta \in \alpha$，$g(\theta)=\aleph_{\theta}$。

如果能证明复合函数$g \circ f: cf(\alpha) \to \aleph_{\alpha}$的值域在$(\aleph_{\alpha},\leq)$中共尾，就能推出$cf(\aleph_{\alpha}) \leq cf(\alpha)$。但现在我卡在了这一步：任取$p \in \aleph_{\alpha}$，怎么证明存在$q \in \operatorname{ran}(g \circ f)$使得$p \leq q$呢？

麻烦大家给点提示，谢谢啦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者DerivativesGuy