有理函数形式的柯西主值分解公式问询

先从熟悉的δ函数分解说起 #

假设我们有$\delta[g(x)]$，其中$g(x)$是光滑函数，在点$(x_k){k=1,...,N}$处满足$g(x)=0$，并且所有$|g'(x_k)|\neq0$。用分布的形式化方法推导后，我们能得到这个经典的分解公式：
$$\delta[g(x)]=\sum{k=1}^N \frac{\delta(x-x_k)}{|g'(x_k)|}$$

我的问题 #

现在我遇到了一个类似的问题，但对象换成了柯西主值分布$PV[g(x)]$。这里的$g(x)$是个有理函数，可以写成$\frac{\text{分子}}{\text{分母}}$的形式，分母在点$(x_k)_{k=1,...,N}$处等于0。我想知道，有没有像δ函数那样的漂亮公式，能把这个主值分布用这些奇点$x_k$对应的主值项来表示？

我的尝试思路 #

我自己先试着用测试函数来推导了一下，先把$g(x)$近似成$\frac{1}{\prod_{k=1}^{N}(x-x_k)}$的形式（因为分母的零点就是这些$x_k$）。主值分布和测试函数$f(x)$的配对可以写成：
$$\left\langle PV[g(x)] ; \middle| ; f(x)\right\rangle=PV\left(\int_{-\infty}^{{+\infty}\frac{f(x)}{\prod_{k=1}}{N}(x-x_k)}\right)=\lim_{\epsilon;\rightarrow ;0^{+}\left[\int_{-\infty}}{x_1-\epsilon}\frac{f(x)}{\prod_{k=1}^{N}(x-x_k)} , dx ;+ \int_{x_1 + \epsilon}^{{x_2-\epsilon}\frac{f(x)}{\prod_{k=1}}{N}(x-x_k)} dx+...+ \int_{x_N +\epsilon}^{{+\infty}\frac{f(x)}{\prod_{k=1}}{N}(x-x_k)} , dx\right]$$

到这一步我想分两步处理：

• 第一步，对每个积分项，把分母里除了对应奇点的$(x-x_k)$之外的因子先提取出来？比如对于第一个积分：
  $$ \int_{-\infty}^{{x_1-\epsilon}\frac{f(x)}{\prod_{k=1}}{N}(x-x_k)} , dx ; \rightarrow ; \int_{-\infty}^{x_1-\epsilon}\frac{f(x)}{(x-x_1)} , dx $$
  第二个积分：
  $$ \int_{x_1 + \epsilon}^{{x_2-\epsilon}\frac{f(x)}{\prod_{k=1}}{N}(x-x_k)} , dx ; \rightarrow ; \int_{x_1 + \epsilon}^{x_2-\epsilon}\frac{f(x)}{(x-x_1)} , dx $$
• 第二步，把这些项两两分组，每组对应一个奇点$x_k$的主值积分，最后我直觉上觉得应该能得到：
  $$PV[g(x)]= \sum_{k=1}^{N}PV\left(\frac{1}{x-x_k}\right)$$

我的困惑 #

不过我感觉自己这思路有点天马行空了，毕竟随便去掉分母里的其他因子这种操作完全没理论依据啊。而且我还看到了一个具体的例子，一开始写错了，后来修正后是：
$$PV\left(\frac{1}{x^2-1}\right) ; = ; \frac{1}{2}\left[PV\left(\frac{1}{x-1}\right) - PV\left(\frac{1}{x+1}\right)\right]$$
这个结果里的系数和减号把我搞懵了——看起来我的直觉方向是对的，但具体的系数和符号都和我想的不一样，这到底是怎么回事？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者TheRvela