关于主G-丛态射同构性：从局部到全局推导丛同胚的疑问

先跟大伙说下背景哈：我现在在啃的问题是——每个主G-丛的态射都是同构。

我已经搞懂了一种证明思路：直接显式构造出逆映射，证明这个态射是同胚。但现在碰到另一种替代思路，我有点绕不过来：

我能理解这种思路里的两个前提：一是可以先假设主G-丛是乘积丛来做证明，二是主G-丛在局部上都是乘积丛。但我就是搞不明白，怎么像相关命题里那样，把局部的结论推广到全局去呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1040289