关于Lebesgue可测函数积分分割结论的求证思路问询

问题内容 #

Let f be Lebesgue measurable on $\mathbb{R}$ and $E\subset \mathbb{R}$ be measurable so that $0<A=\int E f(x)dx < \infty$. Show that for every $t\in (0,1)$ there exists a measurable set $E_t \subset E$ so that $\int{E_t} f(x) dx = t A$.

我的求证思路（疑问集中在第三步） #

• 因为$f$是$\mathbb{R}$上的Lebesgue可测函数，它可以被简单函数逼近。所以我计划先证明结论对简单函数（比如特征函数$f(x) = \chi _{B}(x)$）成立，再推广到一般的Lebesgue可测函数$f$。
• 对于特征函数的情况，积分$\int _{E} \chi _{B}(x) dx = m(E\cap B)= A$（这里$m$表示Lebesgue测度）。此时需要证明存在可测集$E_t \subset E$，使得$m(E_t\cap B)=t \cdot m(E\cap B)= tA$。
• 这一步是我卡壳的地方：查了相关讨论后，我考虑定义函数$g(x) = m(E\cap B\cap (-\infty, x))$，想通过证明$g(x)$是连续函数，再利用介值定理找到某个点$t_0$，使得$0<g(t_0) = t \cdot m(E\cap B)<m(E\cap B)$，但不确定这个思路是否存在问题。

希望各位能对我的上述步骤提出点评，看看有没有逻辑漏洞或者错误，非常感谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Thmyem