关于利用齐次性证明Weierstrass西格玛函数偏微分方程的技术问询

各位好，我最近在研究Weierstrass西格玛函数相关的偏微分方程时卡壳了，想跟大家探讨下这个问题：

Wolfram函数网站给出了Weierstrass西格玛函数关于$g_2, g_3$的偏微分方程：
$$
z\frac{\partial \sigma(z; g_2, g_3)}{\partial z}

• 4g_2\frac{\partial \sigma(z; g_2, g_3)}{\partial g_2}
• 6g_3\frac{\partial \sigma(z; g_2, g_3)}{\partial g_3}
• \sigma(z; g_2, g_3) = 0.
  $$

我搞不懂怎么用西格玛函数的齐次性来证明这个方程。欧拉齐次函数定理没法直接套用，因为西格玛函数在$(z,g_2,g_3)$这组变量上并不是齐次的。

不过我想到一个思路：假设西格玛函数的幂级数展开是由形如$c g_2^a g_3^b z^{1+4a+6b}$的项组成的（其中$c$是常数，$a$和$b$是整数），对单个这样的项做简单计算就能验证它满足上述偏微分方程。这样一来，问题就简化成了证明西格玛函数的幂级数确实具有这个形式。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Somos