关于⊆*关系传递性证明的有效性验证及优化方法问询

嘿，你的思路完全没问题！先给你吃个定心丸：用证明 $A - C \subseteq (A - B) \cup (B - C)$ 来推导 $\subseteq^*$ 的传递性，这个方法是完全有效的，而且逻辑上非常严谨。

先针对你疑惑的两个步骤逐一解释：

• 步骤1的合理性：引入排中律（$x \in B \lor x \notin B$）完全没问题！在集合论的常规证明里，排中律是被广泛接受的（除非你在做直觉主义集合论，但通常这类问题默认是经典逻辑框架）。这一步是很常用的拆分技巧，完全合规。
• 步骤5的推导：你这里的逻辑其实是对的，只是可以把理由说得更明确：
  • 对于第一个析取项 $(x \in B - C \land x \in A)$，利用合取消除规则——如果 $P \land Q$ 为真，那么 $P$ 必然为真，所以直接能推出 $x \in B - C$；
  • 对于第二个析取项 $(x \in A - B \land x \notin C)$，同理，合取消除后能得到 $x \in A - B$；
    所以不管哪一种情况，都能得到 $x \in (B - C) \lor x \in (A - B)$，这一步的逻辑是站得住脚的。

再帮你补全整体证明的收尾：既然已经证得 $A - C \subseteq (A - B) \cup (B - C)$，结合题目条件 $A \subseteq^* B$（即 $A - B$ 有限）和 $B \subseteq^* C$（即 $B - C$ 有限），有限集的并集仍是有限集，而有限集的子集必然也有限，所以 $A - C$ 有限，也就满足 $A \subseteq^* C$，整个逻辑链条就完整了。

那有没有更简洁的方法？其实你的方法已经很直接了，但如果想绕开子集证明，也可以用⊆*的等价定义直接推导：

因为 $A \subseteq^* B$，所以存在有限集合 $F_1$ 使得 $A \subseteq B \cup F_1$；同理，$B \subseteq^* C$ 意味着存在有限集 $F_2$，使得 $B \subseteq C \cup F_2$。
把第二个式子代入第一个，得到 $A \subseteq (C \cup F_2) \cup F_1 = C \cup (F_1 \cup F_2)$，而 $F_1 \cup F_2$ 是有限集（两个有限集的并集有限），根据 $\subseteq^$ 的定义，直接就能得出 $A \subseteq^ C$。

这个方法更直接利用了“几乎包含”的等价表述，但本质上和你的方法是等价的——因为 $A \subseteq B \cup F$ 就等价于 $A - B \subseteq F$，也就是 $A - B$ 有限。

总结一下：你的原始证明完全有效，步骤1和5都是合理的；如果想简化，可以用几乎包含的等价定义来直接推导，但两种方法的逻辑内核是一致的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者zlaaemi