线性插值代数推导疑问：无法得到维基百科给出的完整表达式

看起来你离得到维基百科上的线性插值完整表达式只差最后几步啦！我来帮你把推导补全：

首先，你已经从两点式出发，顺利推到了这一步：
$$
\begin{align*}
y &= y_0 + \dfrac{y_1(x-x_0)-y_0(x-x_0)}{x_1-x_0}
\end{align*}
$$

问题出在你还没把单独的$y_0$和后面的分数项合并到一起。我们只需要把$y_0$转化为分母是$x_1-x_0$的分数，再合并分子就能得到目标表达式了，完整的推导步骤如下：

$$
\begin{align*}
y &= y_0 + \dfrac{y_1(x-x_0)-y_0(x-x_0)}{x_1-x_0} \
&= \dfrac{y_0(x_1-x_0)}{x_1-x_0} + \dfrac{y_1(x-x_0)-y_0(x-x_0)}{x_1-x_0}
& \text{将 } y_0 \text{ 通分，统一分母为 } x_1-x_0 \
&= \dfrac{y_0(x_1-x_0) + y_1(x-x_0) - y_0(x-x_0)}{x_1-x_0}
& \text{合并两个分数的分子} \
&= \dfrac{y_0\left[(x_1-x_0)-(x-x_0)\right] + y_1(x-x_0)}{x_1-x_0}
& \text{提取分子中 } y_0 \text{ 的公因子} \
&= \dfrac{y_0(x_1 - x) + y_1(x - x_0)}{x_1 - x_0}
& \text{化简括号内的项：} (x_1-x_0)-(x-x_0)=x_1-x \
&= y_0 \cdot \dfrac{x_1 - x}{x_1 - x_0} + y_1 \cdot \dfrac{x - x_0}{x_1 - x_0}
& \text{拆分为加权和形式，这就是维基百科上的标准线性插值表达式}
\end{align*}
$$

简单来说，你之前的推导只是停留在拆分分子的阶段，没有完成通分合并的步骤，补上这部分就能得到完整的结果啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者pepsi-maniac