关于证明极限序数α的共尾数cf(ℵ_α)=cf(α)中反向不等式的疑问

嘿，看起来你已经走对路了，只差最后一步理清那个最小元素的归属问题！先帮你把思路理顺，你想要证明$cf(\alpha) \leq cf(\aleph_{\alpha})$，核心是用$\aleph_{\alpha}$的共尾函数来构造一个到$\alpha$的共尾函数，但你当前的思路里对$\gamma$的定义有点小问题，我们来调整一下：

首先回忆几个关键事实：

• 因为$\alpha$是极限序数，$\aleph_{\alpha} = \sup{\aleph_{\xi} \mid \xi < \alpha}$，而且$\aleph$函数是严格递增的——也就是说对任意$\xi < \zeta < \alpha$，$\aleph_{\xi} < \aleph_{\zeta} < \aleph_{\alpha}$。
• 你已经有了一个函数$f: cf(\aleph_{\alpha}) \to \aleph_{\alpha}$，它的值域是$\aleph_{\alpha}$的共尾子集，也就是说对任意$\delta < \aleph_{\alpha}$，存在$\beta \in cf(\aleph_{\alpha})$使得$f(\beta) \geq \delta$。

现在，你的思路里提到取满足$f(\beta) \geq x$（$x \in \alpha$）的最小$\gamma = f(\beta)$，但这里的$\gamma$是$\aleph_{\alpha}$中的元素，它不一定属于$\alpha$（比如当$\alpha = \omega$时，$\aleph_{\omega}$远大于$\omega$，$f(\beta)$可能是某个$\aleph_n$，而$\aleph_n > \omega = \alpha$）。所以我们需要换个方式，对每个$\beta \in cf(\aleph_{\alpha})$，定义$\xi_{\beta}$为最小的序数$\xi < \alpha$使得$\aleph_{\xi} > f(\beta)$。为什么这样的$\xi$存在？因为$f(\beta) < \aleph_{\alpha} = \sup{\aleph_{\xi} \mid \xi < \alpha}$，所以必然存在某个$\xi < \alpha$让$\aleph_{\xi}$超过$f(\beta)$，而序数类是良序的，所以最小的$\xi$肯定存在。

接下来我们定义函数$g: cf(\aleph_{\alpha}) \to \alpha$，$g(\beta) = \xi_{\beta}$，现在只需要证明$ran(g)$是$\alpha$的共尾子集：

假设$ran(g)$不是$\alpha$的共尾子集，那意味着存在某个$\eta < \alpha$，使得对所有$\beta \in cf(\aleph_{\alpha})$，$\xi_{\beta} \leq \eta$。根据$\xi_{\beta}$的定义，这就意味着$f(\beta) < \aleph_{\eta+1}$对所有$\beta$。但$\eta+1 < \alpha$（因为$\alpha$是极限序数），所以$\aleph_{\eta+1} < \aleph_{\alpha}$，这就和$f$的值域是$\aleph_{\alpha}$的共尾子集矛盾——因为$\aleph_{\eta+1}$是$\aleph_{\alpha}$的一个严格下界，但没有任何$f(\beta)$能大于等于它，这显然不成立。

所以$ran(g)$确实是$\alpha$的共尾子集，根据共尾数的定义，$cf(\alpha) \leq cf(\aleph_{\alpha})$。

再回到你最开始的疑问，为什么你的思路里的$\gamma$不一定在$\alpha$里？因为$x \in \alpha$只是一个小于$\alpha$的序数，而$\aleph_{\alpha}$里的元素可以远大于$\alpha$，所以直接取$f(\beta) \geq x$的最小元素，这个元素可能是某个大于$\alpha$的基数，没法直接映射到$\alpha$里。而上面调整后的思路，通过把每个$f(\beta)$对应到$\alpha$里最小的能让$\aleph_{\xi}$超过它的$\xi$，就完美解决了这个问题，同时保证了构造出的函数值域是$\alpha$的共尾子集。

这样结合你已经证明的$cf(\aleph_{\alpha}) \leq cf(\alpha)$，就可以得出$cf(\aleph_{\alpha}) = cf(\alpha)$啦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者DerivativesGuy