寻求满足a+b+c=5的三元不等式最小值的代数构造解法
最近碰到这么个不等式题，想找纯代数构造的解法（比如AM-GM、柯西不等式这类），不用拉格朗日乘数法那种微积分工具：
已知正实数a,b,c满足a+b+c=5，求表达式$\frac{4a2+c2+4ab+bc}{10b+2ac}+\frac{2b}{a+c}$的最小值。
我已经用拉格朗日乘数法算出最小值是$\frac{7}{4}$，当$a=b=1, c=3$时取到，但卡壳在纯代数方法上，之前尝试过两个思路：
- 把第二项$\frac{2b}{a+c}$变形为$\frac{10}{a+c}-2$（利用$a+b+c=5$），但不知道怎么和第一项结合；
- 把分母$10b+2ac$转化为$2(a+b)(b+c)$（代入$10=2(a+b+c)$），但后续也没找到突破口。
后来重新梳理了第一项的化简，发现可以拆分分子：
分子$4a2+c2+4ab+bc = 4a(a+b) + c(b+c)$，分母是$2(a+b)(b+c)$，所以第一项可以拆成：
$$\frac{4a(a+b)}{2(a+b)(b+c)} + \frac{c(b+c)}{2(a+b)(b+c)} = \frac{2a}{b+c} + \frac{c}{2(a+b)}$$
这样整个原式就简化为：
$$\frac{2a}{b+c} + \frac{c}{2(a+b)} + \frac{2b}{a+c}$$
观察取等条件$a=b=1$，我尝试假设$a=b=t$（正实数，且$c=5-2t>0$，即$0<t<\frac{5}{2}$），把问题转化为单变量函数求解：
代入$a=b=t$，$c=5-2t$到原式，先计算第一项：
分子：$4t^2 + (5-2t)^2 + 4t^2 + (5-2t)t = 10t^2 -15t +25$
分母：$10t + 2t(5-2t) = 20t -4t^2 = 4t(5-t)$
所以第一项为$\frac{10t^2 -15t +25}{4t(5-t)}$
第二项为$\frac{2t}{t + (5-2t)} = \frac{2t}{5-t}$
合并后得到单变量函数：
$$f(t) = \frac{10t^2 -15t +25}{4t(5-t)} + \frac{2t}{5-t} = \frac{18t^2 -15t +25}{4t(5-t)}$$
接下来用换元法结合AM-GM求解：
令$k = \frac{5}{t} -1$（因为$0<t<\frac{5}{2}$，所以$k>1$），则$\frac{1}{t} = \frac{k+1}{5}$，代入分子分母化简后：
$$f(t) = \frac{k^2 -k +16}{4k} = \frac{k}{4} + \frac{4}{k} - \frac{1}{4}$$
根据AM-GM不等式，$\frac{k}{4} + \frac{4}{k} \geq 2\sqrt{\frac{k}{4} \times \frac{4}{k}} = 2$，当且仅当$\frac{k}{4} = \frac{4}{k}$即$k=4$时取等号。
此时$k=4 = \frac{5}{t} -1$，解得$t=1$，对应$a=b=1$，$c=5-2\times1=3$，代入得$f(t)=\frac{7}{4}$，正好是最小值。
这样就完全用代数构造的方法解决了这个问题，不用微积分工具~
备注：内容来源于stack exchange，提问作者ExchangeProblems
