标准正态随机变量|X|≥x的概率上下界证明求助

问题描述 #

设$X$是标准高斯（正态）随机变量，需要证明对任意$x>0$，以下不等式成立：
$$
\frac{x}{1+x^2} e^{-x2/2} \leq \sqrt{\frac{\pi}{2}} \mathbb{P}[|X| \geq x] \leq \frac{1}{x} e^{-x2/2}.
$$

提问者的尝试 #

我首先利用标准正态分布的对称性，写出了概率的表达式：
$$
\mathbb{P}[|X| \geq x] = 1 - \mathbb{P}[-x \leq X \leq x] = 1 - \sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_0^x e^{-t2/2} , \text{d} t
$$
（这里我把积分变量换成了$t$，避免和积分上限$x$混淆）

两边乘以$\sqrt{\frac{\pi}{2}}$后得到：
$$
\sqrt{\frac{\pi}{2}} \mathbb{P}[|X| \geq x] = \sqrt{\frac{\pi}{2}} - \int_0^x e^{-t2/2} , \text{d} t.
$$

我先给出了一个粗略的估计：
$$
\sqrt{\frac{\pi}{2}} - 1 \leq \sqrt{\frac{\pi}{2}} \mathbb{P}[|X| \geq x] \leq \sqrt{\frac{\pi}{2}}
$$

接下来我尝试先证明右边的不等式：
$$
\sqrt{\frac{\pi}{2}} \mathbb{P}[|X| \geq x] \leq \frac{1}{x} e^{-x2/2}.
$$

我的思路是先解方程$\sqrt{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{x} e^{-x2/2}$，找到一个分界值$z$，让不等式在某些区间里平凡成立，剩下的区间再用更紧的界分析，但我算不出这个方程的精确解，现在卡住了，求各位大佬指点！

解答思路 #

其实不用纠结那个超越方程的精确解，我们可以直接通过积分放缩+函数单调性分析来证明这两个不等式，这是处理正态分布尾概率的常用技巧：

先证右边的上界：$\sqrt{\frac{\pi}{2}} \mathbb{P}[|X| \geq x] \leq \frac{1}{x} e^{-x2/2}$

首先，根据标准正态分布的对称性，我们可以把尾概率写成积分形式：
$$
\mathbb{P}[|X| \geq x] = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_x^\infty e^{-t2/2} dt
$$
两边乘以$\sqrt{\frac{\pi}{2}}$后，得到：
$$
\sqrt{\frac{\pi}{2}} \mathbb{P}[|X| \geq x] = \int_x^\infty e^{-t2/2} dt
$$

现在对这个积分做放缩：当$t \geq x > 0$时，$\frac{1}{t} \leq \frac{1}{x}$，所以：
$$
\int_x^\infty e^{-t2/2} dt = \int_x^\infty \frac{t}{t} e^{-t2/2} dt \leq \frac{1}{x} \int_x^\infty t e^{-t2/2} dt
$$

计算右边的积分：注意到$t e^{-t2/2} = -\frac{d}{dt} e^{-t2/2}$，所以：
$$
\int_x^\infty t e^{-t2/2} dt = \left[ -e^{-t2/2} \right]_x^\infty = e^{-x2/2}
$$

代入后直接得到：
$$
\int_x^\infty e^{-t2/2} dt \leq \frac{1}{x} e^{-x2/2}
$$
右边的上界就证明完成了，完全不用解方程！

再证左边的下界：$\frac{x}{1+x^2} e^{-x2/2} \leq \sqrt{\frac{\pi}{2}} \mathbb{P}[|X| \geq x]$

同样从$\sqrt{\frac{\pi}{2}} \mathbb{P}[|X| \geq x] = \int_x^\infty e^{-t2/2} dt$出发，我们构造函数：
$$
f(t) = \int_t^\infty e^{-s2/2} ds - \frac{t}{1+t^2} e^{-t2/2}
$$
我们需要证明$f(t) \geq 0$对所有$t>0$成立。

先求$f(t)$的导数：
$$
f'(t) = -e^{-t2/2} - \left[ \frac{(1+t^2)-2t2}{(1+t²⁾2} e^{-t2/2} + \frac{t}{1+t^2}(-t)e{-t^2/2} \right]
$$

化简括号内的部分：
$$
\frac{1-t^2}{(1+t2)^2}e{-t^2/2} - \frac{t^2}{1+t2}e^{-t2/2} = \frac{1-t^2 -t^2(1+t2)}{(1+t²⁾2}e^{-t2/2} = \frac{1-2t^2-t4}{(1+t²⁾2}e^{-t2/2}
$$

进一步整理$f'(t)$：
$$
f'(t) = -e^{-t2/2} - \frac{1-2t^2-t4}{(1+t²⁾2}e^{-t2/2} = -e^{-t2/2} \cdot \frac{(1+t²⁾2 +1-2t^2-t4}{(1+t²⁾2} = -\frac{2e^{-t2/2}}{(1+t²⁾2}
$$

显然$f'(t) < 0$对所有$t>0$成立，说明$f(t)$在$t>0$时严格递减。再看极限：当$t \to \infty$时，$\int_t^\infty e^{-s2/2} ds$和$\frac{t}{1+t^2}e{-t^{2/2}$都是$O(\frac{e}{-t^2/2}}{t})$，极限都是0，所以$\lim_{t \to \infty}f(t)=0$。

因为$f(t)$严格递减且极限为0，所以$f(t) \geq 0$对所有$t>0$成立，也就是：
$$
\int_t^\infty e^{-s2/2} ds \geq \frac{t}{1+t^2}e{-t^2/2}
$$
左边就是$\sqrt{\frac{\pi}{2}} \mathbb{P}[|X| \geq t]$，左边的下界得证！

这样两个不等式就都搞定啦，全程不用碰那个难算的超越方程～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user515933