关于分析学中未定式进阶判别表格的有效性确认及相关疑问

各位好，我知道这篇帖子讨论的内容可能被归类为“低质量”话题，但我还是想试着用更进阶的角度来展开——动笔前我也特意搜过有没有重复的相关帖子。

我最近要给学生讲分析学的内容，不想做那种只会讲网上随处可查的常规知识点的老师，所以打算提前教他们一些快速求解极限的技巧。

在课程开篇要讲未定式的时候，我想到一个自己知道但从未在任何教材里见过的判别逻辑，想跟大家确认下它的有效性。

当我们遇到$\left[\dfrac{0}{0}\right],;[0^0],; [1^{\infty}],[0\cdot\infty], [\infty^0]$这些未定式时，可以整理出下面这些判别表格：

（注：$\textbf{ind.}$=未定式，n.d.=无定义）

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline

\left[\frac{0}{0}\right]&\frac{0^{+}{\cdot}&\frac{0}{\cdot}&\frac{0}-}{\cdot}\\hline

\frac{\cdot}{0^+}&\textbf{ind.}&0&\textbf{ind.}\\hline

\frac{\cdot}{0}&\text{n.d.}&\text{n.d.}&\text{n.d.}\\hline

\frac{\cdot}{0^-}&\textbf{ind.}&0&\textbf{ind.}\\hline

\end{array}\qquad

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline

[0^{0}]&(0+)^{\cdot}&(0){\cdot}&(0^-){\cdot}\\hline

(\cdot)^{0+}&\textbf{ind.}&0&\textbf{ind.}\\hline

(\cdot)^{0}&1&1&1\\hline

(\cdot)^{0-}&\textbf{ind.}&\text{n.d.}&\textbf{ind.}\\hline

\end{array}$$

$$

[1^{\infty}];\Rightarrow;\begin{cases}

(1⁺⁾{\infty}&\textbf{ind.}\

(1)^{\infty}&1\

(1^-){\infty}&\textbf{ind.}\

\end{cases}\qquad [0\cdot\infty];\Rightarrow\begin{cases}0^{+}\cdot\infty&\textbf{ind.}\

0\cdot\infty&0\

0^{-}\cdot\infty&\textbf{ind.}

\end{cases}\qquad[\infty^{0];\Rightarrow\begin{cases}\infty}{0^+}&\textbf{ind.}\

\infty^{0}&1\

\infty^{0-}&\textbf{ind.}

\end{cases}$$

这些表格的核心意义在于：未定式并不是所有直接出现0、1的形式，只有当这些数是趋于0或1的时候，才会构成未定式。

我的疑问在于：这些表格逻辑我从未在任何教材里见过，但实际用起来感觉非常实用——尤其是能解答学生类似“把1乘无穷多次，结果难道不是1吗？”这类问题，甚至能帮学生理解$0^0$的取值逻辑。

P.s.
想提前说一句，要是有人想用“$0^{0$是未定式，因为$0}0=\exp(0\ln(0))$”来反驳的话，我得指出这个例子站不住脚——按同样的逻辑，我也能说$0=0^2=\exp(2\ln(0))$，这显然是不合理的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Math Attack