$\mathbb{R}^2$上特定可积奇异分布的奇异叶状结构求解问询

嘿，这个问题是Sussman用来阐释奇异分布可积性的经典例子，我来帮你把叶状结构的全貌理清楚～

首先你已经摸准了y≤0区域的情况：当$y≤0$时，$\varphi(y)=0$，所以分布$D_{(x,y)}$只由$\frac{\partial}{\partial x}$张成。这时候积分曲线就是固定$y$值、$x$任意变化的水平直线，也就是说每一条$y=c$（$c≤0$）都是一个单独的叶，这些叶彼此平行且不相交，覆盖了整个下半平面（包括x轴）。

接下来重点说y>0的上半平面：这里$\varphi(y)=e^{-1/y2}$，这个函数在$y>0$时是光滑且恒正的，所以此时$D_{(x,y)}$是由$\frac{\partial}{\partial x}$和$\varphi(y)\frac{\partial}{\partial y}$张成的2维分布（两个向量场线性无关）。这意味着什么呢？

我们可以通过积分曲线来验证：

• 沿着$\frac{\partial}{\partial x}$的积分曲线，你可以在固定$y$的情况下任意改变$x$的值；
• 沿着$\varphi(y)\frac{\partial}{\partial y}$的积分曲线，对应的微分方程是$\frac{dy}{dt} = \varphi(y)$。虽然这个方程的解没有初等表达式，但因为$\varphi(y)$在$y>0$时恒正，积分$\int \frac{dy}{\varphi(y)} = \int e^{1/y2} dy$是严格单调递增的，而且任意两个$y>0$的点之间的积分值是有限的——也就是说，你可以通过这条积分曲线从任意$y_0>0$移动到任意$y_1>0$。

把这两个方向结合起来，上半平面里的任意两个点都可以通过分布里的向量场的积分曲线连接起来，所以整个$y>0$的上半平面是一个单一的连通叶。

最后补充一下叶之间的关系：$y>0$的这个大叶子和所有$y≤0$的水平叶是完全不相交的，当你从$y>0$的区域趋近于x轴（$y→0^+$）时，$\varphi(y)$趋近于0，y方向的向量场会“消失”，所以没法从这个大叶子过渡到下半平面的任何水平叶上。

总结一下整个$\mathbb{R}^2$的奇异叶状结构：

• 所有$y=c$（$c≤0$）的水平直线，每个都是一个叶；
• 整个上半平面$y>0$是一个单独的叶。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Yester