关于希尔伯特空间中张量积范数等式的疑问

我最近在研读一份希尔伯特空间相关的证明材料，里面有一个未给出证明的结论让我摸不着头脑，先给大家梳理下相关的定义背景：

设$H$是希尔伯特空间，对于$a,b\in H$，我们用$a\otimes b$表示$a$与$b$的张量积，它被定义为$H^2$上的双线性映射，满足以下性质：

• $(a\otimes b)(\lambda v, u) = \lambda^*(a\otimes b)(v,u)$
• $(a\otimes b)(v + u,w) = (a\otimes b)(v,w) + (a\otimes b)(u,w)$
  （上述线性性质在两个分量上均成立）

同时它有明确的表达式：$(a\otimes b)(v,u) := \langle a,v\rangle \langle b,u\rangle$，其范数的定义为：
$$|a\otimes b| = \sup_{v\in H^2:|v|\leq 1}|(a\otimes b)(v_1,v_2)|$$

这份材料里给出的有疑问的结论是：若$e_1,\dots,e_n$是$H$的希尔伯特基元素，$a\in H$，则有
$$\left|a\otimes\bigotimes_{i=1}^ne_i\right|2=|a|^{2\left|\bigotimes_{i=1}}ne_i\right|^2$$

当$a\neq 0$时，我完全搞不懂这个等式为什么成立。原因在于：计算$\left|a\otimes\bigotimes_{i=1}^ne_i\right|$的范数时，我们需要对所有满足$|v| = \sqrt{\sum_{i=1}^{n+1}|v_i|2}\leq1$的$v\in H^{n+1}$取上确界。这时候$v_1$的范数必须大于0（否则$\langle a,v_1\rangle$就等于0，根本取不到非零的上确界），那么剩下的$v_{i+1}$（也就是$v_2$到$v_{n+1}$）的范数平方和最多是$1-|v_1|^2<1$。

但计算$\left|\bigotimes_{i=1}^{ne_i\right|$的范数时，是对满足$\sqrt{\sum_{i=1}}n|u_i|^2}\leq1$的$u\in H^{n$取上确界，这时候$u_i$的范数平方和可以达到1。这么对比下来，$\prod_{i=1}}{n}\langle e_i,v_{i+1}\rangle$的“有效权重”应该比单独计算$\bigotimes_{i=1}^{ne_i$时要小，那为什么两者的范数平方会是$|a|}2$乘以后者的平方呢？

我是不是忽略了什么关键的细节，还是这个结论本身就是错误的？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Wasradin