关于Stein《实分析》第三章习题3的证明疑问及解题思路咨询

嗨，我来帮你理清这里的疑惑，一步步拆解问题：

第一个疑问：为什么正测度集合一定能取出一个序列？ #

这个逻辑其实很直白：

• 首先，空集的测度是0，所以正测度集合必然是非空的；
• 更进一步，如果一个集合只有有限个点，它的测度也一定是0——因为单点集的勒贝格测度是0，有限个单点集的并集测度就是各单点测度之和，也就是0；
• 所以正测度集合里必然包含无穷多个点，既然有无穷多个点，我们当然能从中取出一个点列${x_n}$。

第二个疑问：为什么原证明没体现序列收敛到0？ #

你看到的应该是不完整的证明片段！这道题的核心逻辑需要结合正测度集合的性质补全，我给你梳理完整的思路：

首先，先确认题目结论：如果$E\subset\mathbb{R}$是正测度可测集，证明存在序列${x_n}\subset E$，满足$x_n\to0$且$x_n\neq0$。

完整推导步骤： #

1. 先证$E\cap(-E)$是正测度集
   假设$m(E\cap(-E))=0$，根据测度的可加性：
   $$m(E\cup(-E))=m(E)+m(-E)-m(E\cap(-E))=2m(E)$$
   但利用勒贝格测度的平移不变性，$m(-E)=m(E)$，同时如果$E$和$-E$几乎不交（测度为0的交集），会和密度点定理矛盾：$E$必有一个密度点$x_0$，那么$-x_0$是$-E$的密度点，两个密度点附近的集合理应有重叠（否则密度点的“密度占比”无法满足定义），因此$m(E\cap(-E))>0$。

2. 构造收敛到0的序列
   记$F=E\cap(-E)$（正测度集），对每个正整数$n$，定义集合：
   $$F_n=F\cap\left(-\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)$$
   因为$F=\bigcup_{n=1}^\infty F_n$，根据测度的连续性，$\lim_{n\to\infty}m(F_n)=m(F)>0$。这意味着对任意$n$，当$k$足够大时，$m(F_k)>0$（即$F_k$非空）。
   我们从每个$F_n$中取一个点$x_n$，显然$|x_n|<\frac{1}{n}$，因此$x_n\to0$，同时$x_n\in F\subset E$，完全符合题目的要求。

另一种更直接的思路（不用绕$E\cap(-E)$） #

利用测度的连续性：

• 考虑$E$和区间$(0,1/n)$的交集：如果对所有$n$，$m(E\cap(0,1/n))=0$，那么$m(E\cap(0,\infty))=\lim_{n\to\infty}m(E\cap(0,1/n))=0$；
• 同理，如果$m(E\cap(-1/n,0))=0$对所有$n$成立，那么$m(E\cap(-\infty,0))=0$；
• 这样就会推出$m(E)=0$，和题设矛盾。因此必然存在无穷多个$n$，使得$E\cap(0,1/n)$或$E\cap(-1/n,0)$非空，从中取点就能得到收敛到0的序列。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者jason 1