寻找满足积分不等式$\left| \int\limits_{-1}^{1} x f(x) dx \right| \le \left| \int\limits_{-1}^{1} f(x) dx \right|$的最宽泛函数类

嘿，这个问题挺有意思的——咱们先从你已经发现的两类函数说起，再一步步拓展到更宽泛的函数类。

首先，你提到的两类函数确实都满足不等式：

• 区间内不变号的函数：
  用绝对值不等式放缩就能轻松验证：
  $$\left| \int\limits_{-1}^{1} x f(x) dx \right| \le \int\limits_{-1}^{1} \left|x\right| \left|f(x)\right| dx \le \int\limits_{-1}^{1} \left|f(x)\right| dx = \left| \int\limits_{-1}^{1} f(x) dx \right|$$
  核心原因是$|x| \leq 1$在$[-1,1]$上恒成立，再加上不变号函数的积分绝对值等于绝对值的积分，自然满足条件。
• 偶函数：
  这个更直接，因为$xf(x)$是奇函数，在对称区间$[-1,1]$上的积分结果为0，显然有：
  $$\left| \int\limits_{-1}^{1} x f(x) dx \right| = 0 \le \left| \int\limits_{-1}^{1} f(x) dx \right|$$

那有没有更宽泛的函数类呢？答案是肯定的，我们可以从**重心（加权平均）**的角度来理解这个不等式：

把$\frac{\int_{-1}^1 xf(x)dx}{\int_{-1}^1 f(x)dx}$（分母不为0时）看作是$f(x)$以自身为权重的$x$的加权平均值（类似“广义重心”），不等式要求这个重心的绝对值$\leq1$；如果$\int_{-1}^1 f(x)dx=0$，那不等式就退化为$\int_{-1}^1 xf(x)dx=0$。

我们可以把这个条件拆解成两种情况：

1. 当$\int_{-1}^1 f(x)dx = 0$时，必须满足$\int_{-1}^1 xf(x)dx = 0$；
2. 当$\int_{-1}^1 f(x)dx \neq 0$时，$\left| \frac{\int_{-1}^1 xf(x)dx}{\int_{-1}^1 f(x)dx} \right| \le 1$。

这个类比你之前找到的两类要宽泛得多，举个变号函数的例子：
取$f(x)=3$在$[0,1]$，$f(x)=-1$在$[-1,0)$，计算得：

• $\int_{-1}^1 f(x)dx = -1 + 3 = 2$
• $\int_{-1}^1 xf(x)dx = \int_{-1}^0 (-x)dx + \int_0^1 3xdx = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 2$
  显然$|2| \leq |2|$，满足不等式，但这个函数既不是不变号函数，也不是偶函数，属于我们拓展出的宽泛类。

再举个反例看哪些函数不满足：
取$f(x)=2$在$[0,1]$，$f(x)=-1$在$[-1,0)$，计算得：

• $\int_{-1}^1 f(x)dx = -1 + 2 = 1$
• $\int_{-1}^1 xf(x)dx = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$
  此时$|\frac{3}{2}| > |1|$，不满足不等式，本质是它的广义重心$\frac{3}{2}$超出了$[-1,1]$区间。

总结一下，最宽泛的函数类就是**$[-1,1]$上的所有可积函数**，且满足上述两种情况的条件。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Andrei Z.