低维子集补集与高同伦群相关命题的验证咨询

我对下面这个拓扑学命题抱有疑问：

设$X$是光滑连通流形，$V \subseteq X$是余维数$\geq d+2$的嵌入子流形，$i: X-V \rightarrow X$是包含映射，那么诱导同态$i_{*}:\pi_{d}(X-V) \rightarrow \pi_{d}(X)$是同构。

我尝试找直接的反例，但一直没成功。目前已知当$d=1$时这个命题是成立的，而且我推测对于任意$d$，$i_{*}$至少是单射，但总觉得它不太可能在所有情况下都是满射。

编辑补充：正如Moishe Kohan在评论里提到的，如果考虑非光滑的对象，那原命题在$d=1$时也不成立。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者hyyyyy