关于满足无穷远任意阶衰减的无穷可微函数：逐点收敛到0是否蕴含一致收敛到0？

嘿，这个问题问得很有意思，但答案其实是否定的——我们可以构造一个清晰的反例，来证明逐点收敛到0并不意味着一致收敛到0。

首先，先铺垫一个常用的光滑截断函数：我们可以构造一个无穷可微函数 $\phi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$，满足：

• 当 $|x|\leq1$ 时，$\phi(x)=1$；
• 当 $|x|\geq2$ 时，$\phi(x)=0$；
• 对所有 $x\in\mathbb{R}$，$0\leq\phi(x)\leq1$。

接下来，我们定义序列函数：
$$f_n(x) = \phi\left(n(x - n)\right)$$

现在来逐一验证这个序列的性质：

1. 无穷可微性：因为 $\phi$ 是无穷可微的，$f_n(x)$ 是 $\phi$ 的线性复合函数，自然也保持无穷可微性。
2. 无穷远任意阶衰减：对于任意固定的 $N\in\mathbb{N}$，当 $|x|\to\infty$ 时，要么 $x$ 远大于 $n+\frac{2}{n}$，要么远小于 $n-\frac{2}{n}$，此时 $|n(x-n)|\geq2$，$f_n(x)=0$；而如果 $x$ 暂时在 $n$ 附近，当 $|x|\to\infty$ 时，固定的 $n$ 会被甩在身后，$x$ 最终会远离 $n$，$f_n(x)$ 也会趋于0，显然满足 $f_n(x)=\mathcal{O}(|x|^{-N})$ 对任意 $N$ 成立。
3. 逐点收敛到0：对于任意固定的 $x\in\mathbb{R}$，当 $n$ 足够大（比如 $n > x + 2$）时，$|n(x-n)|=n(n-x)\geq2n>2$，此时 $f_n(x)=0$，所以 $\lim_{n\to\infty}f_n(x)=0$，逐点收敛成立。
4. 不一致收敛到0：注意到当 $x=n$ 时，$n(x-n)=0$，所以 $f_n(n)=\phi(0)=1$，也就是说 $\max_{x\in\mathbb{R}}f_n(x)=1$ 对所有 $n$ 都成立，因此 $\lim_{n\to\infty}\max_{x\in\mathbb{R}}f_n(x)=1\neq0$，一致收敛不成立。

这个反例的核心思路很直观：把每个函数的“峰值”不断往无穷远处挪，但始终保持峰值高度不变。虽然单个函数在无穷远衰减得足够快，但整个序列的最大值始终是1，自然没法一致收敛到0。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Nameless