伪阿诺索夫同胚诱导映射环面中的简单闭测地线相关技术问询
提问背景与问题
最近我在读Benson Farb和Dan Margalit写的《A Primer on Mapping Class Groups》这本书，先明确几个定义：
- 令 $S_g$ 表示亏格为 $g$ 的闭曲面，$Mod(S_g)$ 是对应的映射类群
- 对于 $f \in Mod(S_g)$，定义映射环面 $M_f= \dfrac{S_g \times [0,1]}{(x,0) \sim(\phi(x),1)}$，其中 $[\phi]=f$，也就是 $\phi$ 是 $f$ 的一个代表元，且 $\phi \in Homeo^+(S_g)$
已知如果 $f$ 是伪阿诺索夫的，那么 $M_f$ 是闭双曲三维流形。
我的问题是：$M_f$ 中是否存在无穷多条简单闭测地线？
我的尝试思路
我用到了一个结论：紧致曲面 $S$ 上的任意伪阿诺索夫同胚 $\phi$，其周期点在 $S$ 中是稠密的。设 $P_{\phi}$ 是 $\phi$ 的所有周期点构成的集合。取 $x \in P_{\phi}$，假设它的周期为 $n$，那么 $x$ 是伪阿诺索夫映射 $\phi^n$ 的不动点。现在考虑从 $S_g \times {0}$ 中的 $x$ 到 $S_g \times {1}$ 中的 $x$ 的弧，这条弧在 $S_g \times [0,1]$ 中是嵌入弧，因此在映射环面 $M_{\phi^n}$ 中会形成一条简单闭环路。这里我有个疑问：这条简单闭环路是否同伦于 $M_{\phi^n}$ 中的一条简单闭测地线？我原本想通过这个思路来构造 $M_f$ 中的简单闭测地线。
专家解答
先直接给你明确结论：是的，伪阿诺索夫映射环面 $M_f$ 里确实有无穷多条简单闭测地线，而且你的思路方向完全没问题，咱们把细节补全就好：
关于周期点环路与测地线的对应关系
你提到的这条由周期点构造的简单闭环路，在双曲三维流形里有个核心性质可以直接用：任何非平凡的自由同伦类都恰好对应唯一的一条简单闭测地线（这是双曲流形的测地线实现定理）。你构造的这条环路显然不是零伦的——它对应着 $\phi^n$ 不动点生成的非平凡同伦类，所以它一定能找到唯一的简单闭测地线作为同伦代表。为什么能得到无穷多条不同的测地线
伪阿诺索夫同胚的周期点不仅稠密，还能找到无穷多个属于不同自由同伦类的周期点对应的环路。这些环路的同伦类互不相同，再结合刚才说的测地线唯一性，每个不同的同伦类都对应一条独一无二的简单闭测地线，自然就有无穷多条了。
额外补充一点：除了周期点构造的这类测地线，$M_f$ 里还有其他来源的简单闭测地线，比如曲面 $S_g$ 上的简单闭曲线在映射环面中“缠绕”形成的测地线，但你用周期点的方法已经足够证明存在无穷多条的结论了。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者T ghosh
