关于满足共轭对称性的单位圆周连续函数全纯延拓可能性的论证正确性问询（聚焦幂级数系数恒定性的合理性）

我最近在研究一个复分析问题，自己尝试做了论证，但对其中某一步的合理性存疑，想请大家帮忙看看：

Suppose that $f: \mathbb S^1\to \mathbb C$ is continuous such that $f(z)=f(\bar z)$ for all $z\in \mathbb S^1$. Can it be extended to a continuous $F: \overline{\mathbb D}\to \mathbb C$ such that $ F$ is holomorphic on $\mathbb D$?

我的论证过程如下：

• 如果$f$是常函数，那么显然可以构造这样的延拓，结论成立。
• 假设$f$不是常函数，先假定存在满足条件的全纯延拓$F$。取任意$r\in(0.2,1)$，对任意$z\in D_{1/10}(0)$，由柯西积分公式可得：
  $$F(z)=\int_{|u|=r}\frac{F(u)}{u-z} ,du\tag 1$$
• 将(1)展开为幂级数形式：
  $F(z)=\sum_{k\ge 0}\left(\int_{|u|=r}\frac{F(u)}{u^{{k+1}}\right)z}k=\sum_{k\ge 0} a_k(r) z^k$，这里标注$(r)$是为了说明系数$a_k$依赖于选取的$r$。
• 经过计算可以推导出：
  $2\pi r^{ka_k(r)=\int_0}{2\pi} F(re^{-i\theta})e{ki\theta} ,d\theta$
• 由于$F$在闭圆盘$\overline{\mathbb D}$上连续，当$r\to1^{-$时，$F(re}{-i\theta})\to F(e^{-i\theta})$，因此：
  $$\implies 2\pi a_k(r)\to\int_0^{2\pi} F(e^{-i\theta})e{ki\theta} ,d\theta=\int_0^{2\pi} F(e^{i\theta})e{ki\theta} ,d\theta=i\int_{|z|=1}F(z)z^{k-1}dz=0,\forall k\ge 1$$
  这里用到了题目给出的$f(z)=f(\bar z)$，即$F(e^{{i\theta})=F(e}{-i\theta})$，从而上述积分结果为0。
• 由此可得，当$r\to1^-$时，$a_k(r)\to0$。
• 这里我提出了一个结论（重点关注的部分）：Since $z$ is fixed and power series representation is unique, we must have $a_k(r)=$ constant. 我的思路是，因为$F(z)$在$D_{1/10}(0)$内的幂级数表示是唯一的，所以不管用哪个$r$（只要满足$r\in(0.2,1)$，保证$z$在柯西积分的圆盘内）展开得到的系数$a_k(r)$都应该是同一个常数，不依赖于$r$。既然$a_k(r)$趋近于0，那它就必须恒等于0，对所有$k\ge1$成立。
• 这样一来，$F$在$D_{1/10}(0)$内就是常函数，根据全纯函数的恒等定理，$F$在整个单位圆盘$\mathbb D$内都是常函数，这与我们假设$f$不是常函数矛盾，因此不存在这样的延拓。

我不确定上面重点标注的这个结论是否合理，有没有朋友能帮忙验证这个推导步骤的正确性，或者指出其中的问题？非常感谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Koro