关于最大顺序统计量方差的更紧上界估计的技术问询

嘿，这是个很有价值的问题！你已经通过$Z \leq \sum W_i$得到了一个方差上界，但确实可以通过分析$W_i$的分布特性和顺序统计量的性质，推导更紧的——甚至是与$\lambda$无关的常数阶上界。下面我来拆解可能的思路：

先明确$W_i$的基础性质 #

首先把$W_i$的期望和方差再理清楚：

• 期望：$E[W_i] = (n-s)\cdot\frac{1}{n} - s\cdot\frac{1}{n} = 1 - \frac{2s}{n}$
• 方差：$Var(W_i) = Var(\text{Bin}(n-s,\frac{1}{n})) + Var(\text{Bin}(s,\frac{1}{n})) = \frac{n-1}{n}$，和你之前的计算一致，当$n$较大时近似为1。

核心思路：利用尾概率与顺序统计量的矩估计 #

方差$Var(Z) = E[Z^2] - (E[Z])^{2$，所以我们可以分别估计$E[Z]$和$E[Z}2]$，再结合两者得到方差上界。关键在于利用独立同分布变量的最大值的尾概率性质：
$$P(Z > t) = 1 - \left[P(W_i \leq t)\right]^\lambda$$

第一步：验证$W_i$的尾概率是指数衰减的

$W_i$是两个独立二项变量的差，我们可以用Chernoff界来估计它的上尾概率：
对于任意$\theta > 0$，有：
$$P(W_i > t) \leq e^{-\theta t} \cdot E\left[e^{\theta W_i}\right]$$
计算矩生成函数$E\left[e^{\theta W_i}\right] = \left(1 - \frac{1}{n} + \frac{e^{\theta}{n}\right)}{n-s} \cdot \left(1 - \frac{1}{n} + \frac{e^{{-\theta}}{n}\right)}s$
当$n$较大时，用泰勒展开近似后可以证明：存在常数$c > 0$，使得$P(W_i > t) \leq e^{-ct}$（指数尾）。同理，下尾概率$P(W_i < -t)$也满足类似的指数衰减。

第二步：推导$E[Z]$和$E[Z^2]$的上界

对于有指数尾的独立同分布变量，最大值$Z$的期望通常是$\log \lambda$量级（类似Gumbel分布的最大值行为），而方差则是常数阶：

• 期望$E[Z]$：可以通过积分表示$E[Z] = \int_0^\infty P(Z > t) dt + \int_{-\infty}^0 (P(Z > t)-1) dt$，结合指数尾的性质，$E[Z] = O(\log \lambda)$
• 二阶矩$E[Z^{2]$：同样用积分表示$E[Z}2] = 2\int_0^\infty t P(Z > t) dt + 2\int_{-\infty}^0 t (P(Z > t)-1) dt$，代入尾概率的指数上界后，可得$E[Z^2] = O((\log \lambda)^2)$

这里需要注意：当$\lambda$足够大时，$Z$的分布会收敛到Gumbel分布，其方差是固定的常数（比如$\pi^2/6$，取决于尾概率的衰减率），也就是说存在与$\lambda$无关的方差上界。

更直接的不等式推导 #

还有一个实用的技巧：对于任意随机变量$Z$，$Var(Z) \leq E[Z^{2]$，而我们可以用最大值的性质来估计$E[Z}2]$：
$$E[Z^2] = E\left[\left(\max_{i \leq \lambda} W_i\right)^2\right] \leq E\left[\max_{i \leq \lambda} W_i^2\right] + 2E\left[\sum_{i < j} W_i W_j \cdot I(W_i = Z, W_j = Z)\right]$$
后面的交叉项概率极低（只有当$W_i=W_j$且同时为最大值时才非零），可以忽略不计，而$E\left[\max W_i^2\right]$可以通过尾概率估计为常数阶（当$\lambda$增长时，$\max W_i^2$的期望不会随$\lambda$线性增长，而是对数级或常数级）。

总结 #

如果你能证明$W_i$的尾概率是指数衰减的（这在二项差的情况下是成立的），那么可以得到：

• 当$\lambda$足够大时，$Var(Z)$有一个与$\lambda$无关的常数上界
• 即使$\lambda$较小，也能得到比$\lambda(1-1/n)$紧得多的上界（比如$O(\log \lambda)$或常数阶）

你可以尝试用Chernoff界严格推导尾概率的指数衰减率，再代入矩的积分表达式，就能得到具体的上界数值了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Lin