关于二次型沿任意非测地线曲线平行输运的可行性及参考资料问询

嘿，这个问题问得很有意思！我来帮你一步步梳理清楚：

首先，核心结论是：二次型沿非测地线曲线的平行输运是完全可行的，但需要先把二次型和张量的概念联系起来——毕竟平行输运的本质是针对张量定义的，而二次型本质上就是一种*(0,2)型对称张量*（或者对应(2,0)型，取决于你是从双线性形式还是纯二次形式出发）。

接下来具体拆解几个关键点：

• 平行输运的本质不局限于测地线：平行输运的定义是基于联络的，只要流形上选定了一个联络（比如你提到的Levi-Civita联络，或者其他满足特定性质的联络），对于任意光滑曲线$\gamma(t)$（不管是不是测地线），我们都可以定义张量的平行输运——条件就是该张量沿曲线切向量的协变导数为零，即 $\nabla_{\dot{\gamma}(t)} T = 0$，这里$T$就是二次型对应的张量。这个定义对所有光滑曲线都成立，测地线只是特殊的“自平行”曲线而已。
• 带正负特征值的二次型的输运：如果你用的是适配这个二次型的联络（比如伪黎曼流形上的Levi-Civita联络，它会保持伪度量张量的平行性），那么平行输运后的二次型会严格保持它的对称性和特征值结构——因为平行输运给出的是各点张量空间之间的线性同构，而线性同构会保持张量的代数不变量（比如特征值、对称性），所以输运后的二次型和原二次型是“代数等价”的。
• 参考资料推荐：
  • 《微分几何基础》（Do Carmo）：这本经典教材详细讲解了张量的平行输运，包括伪黎曼流形的情况，你可以重点翻阅“张量的协变导数”和“平行输运”相关章节，里面明确覆盖了任意曲线的情形。
  • 《伪黎曼几何与相对论》（O'Neill）：这本书专门针对不定度量（也就是你说的带正负特征值的二次型对应的流形）展开，对平行输运在伪黎曼流形上的推广讲得非常透彻，非测地线的情况也有专门的讨论。
  • 《微分几何讲义》（陈省身、陈维桓）：国内的经典教材，逻辑清晰，关于张量平行输运的部分同样覆盖了任意曲线的场景，适合入门和深入理解。

额外补充一点：如果你选择的联络不适配这个二次型，那么平行输运后的张量可能不再保持原来的特征值结构，但输运本身仍然是可以进行的——只是结果会依赖于联络的选择。所以如果你需要保持二次型的代数性质，选择适配的联络是关键。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user500089