证明三角函数不等式(1+1/sin²x)(1+1/cos²x)≥9的方法及替换法推导疑问解答

哈喽各位，今天咱们来拆解这个三角函数不等式的证明，还有解决替换法推导时遇到的小卡点～

一、利用三角函数恒等变形的直接证法 #

首先明确要证的结论：对于任意$x \neq \frac{\pi}{2}k$（$k$为整数），不等式$\left(1+\frac{1}{\sin^{2x}\right)\left(1+\frac{1}{\cos}2x}\right)\geq9$成立。

咱们直接对左边的表达式做恒等变形：
$$
\begin{align*}
\left(1+\frac{1}{\sin^{2x}\right)\left(1+\frac{1}{\cos}2x}\right)&=\left(1+\frac{\sin^2x+\cos2x}{\sin^{2x}\right)\left(1+\frac{\sin}2x+\cos^2x}{\cos2x}\right)\
&=9+2\left(\tan^2x - 2\tan x\cdot\cot x + \cot^2x\right)\
&=9+2(\tan x - \cot x)^2
\end{align*}
$$
因为任何实数的平方都是非负的，也就是$(\tan x - \cot x)^2\geq0$，所以$9+2(\tan x - \cot x)^2\geq9$，这就直接完成了证明。

二、替换法推导的卡点与完整解答 #

有朋友想到用替换$\sin x=a$，$\cos x=b$，结合核心三角恒等式$\sin^2x+\cos2x=1$（也就是$a^2+b2=1$），把原不等式转化为：
$$\left(1+\frac{1}{a^{2}\right)\left(1+\frac{1}{b}2}\right)\geq9$$
展开后得到：
$$\frac{(1+a^2)(1+b2)}{a^2b2}=\frac{1+b^2+a2+a^2b2}{a^2b2}=\frac{2+a^2b2}{a^2b2}$$
到这儿就卡壳了，不知道怎么继续往下推。其实这里缺了关键的一步——利用均值不等式！

在@yanruijie的提示下，咱们把推导补全：
$$
\begin{align*}
\left(1+\frac{1}{a^{2}\right)\left(1+\frac{1}{b}2}\right)&=\frac{(a^2+1)(b2+1)}{a^2b2}\
&=\frac{a^2b2+a^2+b2+1}{a^2b2}\
&=1+\frac{2}{a^2b2}
\end{align*}
$$
这里用到均值不等式：对于正数$m$和$n$，有$mn\leq\left(\frac{m+n}{2}\right)^{2$。咱们令$m=a}2$，$n=b^{2$，因为$a}2+b^2=1$，所以：
$$a^2b2\leq\left(\frac{a^2+b2}{2}\right)^{2=\left(\frac{1}{2}\right)}2=\frac{1}{4}$$
两边取倒数（注意正数取倒数后不等号方向改变），就得到$\frac{1}{a^2b2}\geq4$。

把这个结果代入上面的式子：
$$1+\frac{2}{a^2b2}\geq1+2\times4=9$$
这样就通过替换法结合均值不等式完成了证明，是不是很顺畅？

不同的方法都能验证同一个结论，数学的灵活度真的让人着迷～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者 Alice Malinova