类阿达马矩阵的存在性相关问题

问题描述 #

对于所有足够大的$n$，是否存在矩阵$A \in [-1,1]^{n \times n}$，使得$A \cdot A$是对角矩阵，且每个对角元素至少为$\frac{n}{100}$？

讨论分析 #

• 当$n$是4的倍数时，我们可以直接选取阿达马矩阵作为$A$：阿达马矩阵的元素均为$\pm1$，完全符合$[-1,1]$的取值范围，而且它满足$A^T A = nI$（若考虑原问题中的$A\cdot A$，其性质也能保证结果为对角矩阵且对角元为$n$），显然$n \geq \frac{n}{100}$，完美满足条件。
• 但当$n$不是4的倍数时，根据阿达马矩阵的存在性定理，不存在阶数为$n$的阿达马矩阵，这时候就需要寻找其他满足要求的矩阵。

几何视角转化 #

我们可以将这个线性代数问题转化为更直观的几何表述：设$B_n(r)$是$\mathbb{R}^{n$中以原点为中心、半径为$r$的开球，那么原问题等价于：**对于所有足够大的$n$，在集合$[-1,1]}n \setminus B_n\left(\sqrt{\frac{n}{100}}\right)$中存在$n$个两两正交的向量**。

这种转化能帮我们从超立方体的空间分布角度重新理解问题，寻找新的解决方向。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Mathews Boban