关于有限矩阵群的生成元及所有子群与生成元的求解验证问询

问题背景 #

设群$G$由以下8个2阶实矩阵构成，运算为矩阵乘法：
$$
\begin{align*}
\alpha_1 &= \begin{bmatrix}1 & 0 \0 & 1\end{bmatrix}, &\alpha_2 &= \begin{bmatrix}0 & -1 \1 & 0\end{bmatrix}, \
\alpha_3 &= \begin{bmatrix}-1 & 0 \0 & -1\end{bmatrix}, &\alpha_4 &= \begin{bmatrix}0 & 1 \-1 & 0\end{bmatrix}, \
\alpha_5 &= \begin{bmatrix}1 & 0 \0 & -1\end{bmatrix}, &\alpha_6 &= \begin{bmatrix}0 & 1 \1 & 0\end{bmatrix}, \
\alpha_7 &= \begin{bmatrix}-1 & 0 \0 & 1\end{bmatrix}, &\alpha_8 &= \begin{bmatrix}0 & -1 \-1 & 0\end{bmatrix}.
\end{align*}
$$
其中单位元为$\alpha_1$，需要解决两个问题：

1. 找出群$G$的生成元；
2. 找出群$G$的所有子群及其对应的生成元。

我的推导与结论 #

我先计算了部分元素的阶：

• $\alpha_2^2 = \alpha_3$，$\alpha_2^3 = \alpha_4$，$\alpha_2^4 = \alpha_1$，所以$\alpha_2$的阶是4；
• 对于$i=5,6,7,8$，$\alpha_i^2 = \alpha_1$，这四个元素的阶都是2；

接着计算元素间的乘积关系：

• $\alpha_2 \alpha_5 = \alpha_6$，$\alpha_2^2 \alpha_5 = \alpha_7$，$\alpha_2^3 \alpha_5 = \alpha_8$；

基于以上计算，我得出了以下结论：

• 群$G$的生成元集合是${\alpha_2, \alpha_5}$，即$G = \langle \alpha_2, \alpha_5 \rangle$；
• 群$G$的所有子群为：
  • $M_1 = {\alpha_1}$，生成元为$\langle \alpha_1 \rangle$；
  • $M_2 = {\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4}$，生成元为$\langle \alpha_2, \alpha_3 \rangle$；
  • $M_3 = {\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4}$，生成元为$\langle \alpha_2 \rangle$；
  • 群$G$本身，生成元为$\langle \alpha_2, \alpha_5 \rangle$。

我的疑问 #

请问上面的推导和结论是否正确？如果存在错误，应该怎么修正？希望能得到各位的思路和解答，提前感谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者math404