非空闭凸集的距离函数的支撑函数表示证明及其次微分计算问询

看起来你在啃《An easy path to convex analysis and applications》的时候碰到了这个经典的凸分析问题，咱们一步步来拆解，帮你理清思路~

一、证明距离函数的支撑函数表示式 #

你已经迈出了关键的第一步：把支撑函数$\sigma_\Omega(v)$替换成定义式，得到：
$$\sup_{|v|\leq 1}{ \langle x, v \rangle - \sigma_\Omega(v)} = \sup_{|v|\leq 1}{\inf_{\omega\in\Omega} \langle x - \omega, v \rangle}$$
接下来我们通过双向不等式来完成证明，不用直接纠结交换sup和inf的条件，反而更直观：

1. 先证左边 ≤ 右边 #

对任意$|v| \leq 1$和$\omega \in \Omega$，由柯西不等式：
$$\langle x - \omega, v \rangle \leq |x - \omega| \cdot |v| \leq |x - \omega|$$
对$\omega$取下确界，可得：
$$\inf_{\omega\in\Omega} \langle x - \omega, v \rangle \leq \inf_{\omega\in\Omega} |x - \omega| = d(x;\Omega)$$
再对所有$|v| \leq 1$取上确界，左边的上确界自然不会超过$d(x;\Omega)$，即：
$$\sup_{|v|\leq 1}{ \langle x, v \rangle - \sigma_\Omega(v)} \leq d(x;\Omega)$$

2. 再证左边 ≥ 右边 #

分两种情况讨论：

• 当$x \in \Omega$时：$d(x;\Omega)=0$。此时对任意$|v| \leq 1$，$\langle x,v\rangle - \sigma_\Omega(v) \leq \langle x,v\rangle - \langle x,v\rangle = 0$，而取$v=0$时等号成立，因此左边的上确界就是0，等于右边的距离值，等式成立。
• 当$x \notin \Omega$时：利用凸集的投影定理，存在唯一的投影点$\omega_0 \in \Omega$，使得$|x - \omega_0| = d(x;\Omega)$，且满足$\langle x - \omega_0, \omega - \omega_0\rangle \leq 0$对所有$\omega \in \Omega$成立。
  现在取$v = \frac{x - \omega_0}{|x - \omega_0|}$，显然$|v|=1$。代入左边表达式计算：
  $$
  \langle x,v\rangle - \sigma_\Omega(v) = \langle x,v\rangle - \sup_{\omega\in\Omega}\langle v,\omega\rangle
  $$
  由投影的性质，$\langle v, \omega - \omega_0\rangle \leq 0$，即$\langle v,\omega\rangle \leq \langle v,\omega_0\rangle$，因此$\sigma_\Omega(v) = \langle v,\omega_0\rangle$。代入后：
  $$
  \langle x,v\rangle - \langle v,\omega_0\rangle = \langle x - \omega_0, v\rangle = \langle x - \omega_0, \frac{x - \omega_0}{|x - \omega_0|}\rangle = |x - \omega_0| = d(x;\Omega)
  $$
  这说明存在某个$v$使得左边的表达式等于$d(x;\Omega)$，因此左边的上确界至少是这个值，即：
  $$\sup_{|v|\leq 1}{ \langle x, v \rangle - \sigma_\Omega(v)} \geq d(x;\Omega)$$

结合双向不等式，等式得证。

二、计算次微分$\partial d(\bar{x};\Omega)$ #

次微分的计算同样分两种情况，利用距离函数的凸性和投影性质来推导：

1. 当$\bar{x} \in \Omega$时 #

此时$d(\bar{x};\Omega)=0$，根据次微分的定义，$\partial d(\bar{x};\Omega)$是所有满足：
$$d(x;\Omega) \geq d(\bar{x};\Omega) + \langle v, x - \bar{x}\rangle = \langle v, x - \bar{x}\rangle$$
对所有$x \in \mathbb{R}^n$成立的$v$的集合。

经过推导可以得出，这个集合等价于：
$$\partial d(\bar{x};\Omega) = \left{ v \in \mathbb{R}^n \mid |v| \leq 1, \langle v, \omega \rangle \leq \langle v, \bar{x} \rangle \text{ 对所有 } \omega \in \Omega \right}$$
换句话说，这是**$\Omega$在$\bar{x}$处的法锥$N_\Omega(\bar{x})$与单位闭球$B(0,1)$的交集**，即$\partial d(\bar{x};\Omega) = N_\Omega(\bar{x}) \cap B(0,1)$。

2. 当$\bar{x} \notin \Omega$时 #

设$\omega_0$是$\bar{x}$在$\Omega$上的唯一投影，此时距离函数在$\bar{x}$处是可微的，次微分是单点集：
$$\partial d(\bar{x};\Omega) = \left{ \frac{\bar{x} - \omega_0}{|\bar{x} - \omega_0|} \right}$$
这个结果的推导核心是利用投影的正交性：对于任意$v \in \partial d(\bar{x};\Omega)$，结合次微分定义和柯西不等式的等号条件，最终可以推出$v$只能是$\bar{x}$到投影点$\omega_0$的单位方向向量。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Re-ocean