带非整数指数的幂级数乘积等式证明方法问询

定义说明 #

先明确以下定义（提前抱歉，我的LaTeX水平一般）：

广义二项式系数：
$$\binom{\lambda}{n} = \frac{(\lambda)(\lambda -1)\dots(\lambda-n+1)}{n!}$$
且规定 $$\binom{\lambda}{0} = 1$$
其中 $\lambda \in \mathbb{C}$

广义二项式级数：
$$(1+X)^{(\lambda)} := \sum_{n=0}^{\infty} \binom{\lambda}{n}\cdot X^n $$

问题描述 #

需要证明以下等式：
$$(1+X)^{{\lambda}(1+X)}{\gamma}=(1+X)^{\lambda + \gamma}$$

我尝试对乘积得到的幂级数的第n项用归纳法证明，但没能成功。有没有更代数的方法或者可以利用的恒等式来解决这个问题？

解答思路 #

其实这个问题的核心是利用广义二项式系数的卷积恒等式，不需要复杂的归纳，直接从幂级数乘积的系数入手就行：

1. 先写出两个幂级数相乘的形式：
   $$(1+X)^\lambda(1+X)\gamma = \left(\sum_{k=0}^\infty \binom{\lambda}{k}X^{k\right)\left(\sum_{m=0}}\infty \binom{\gamma}{m}X^m\right)$$
   根据幂级数乘积的柯西卷积法则，乘积后$X^n$项的系数是：
   $$\sum_{k=0}^n \binom{\lambda}{k}\binom{\gamma}{n-k}$$

2. 现在只需要证明这个卷积和等于$\binom{\lambda+\gamma}{n}$，这就是范德蒙德卷积的广义形式，对任意复数$\lambda,\gamma$都成立。

3. 怎么证明这个卷积恒等式？可以用代数推导：
   展开左边的每一项：
   $$\binom{\lambda}{k}\binom{\gamma}{n-k} = \frac{\lambda(\lambda-1)\dots(\lambda-k+1)}{k!} \cdot \frac{\gamma(\gamma-1)\dots(\gamma-(n-k)+1)}{(n-k)!}$$
   把分子分母整理一下，提取出$n!$：
   $$=\frac{1}{n!} \cdot \frac{n!}{k!(n-k)!} \cdot \lambda(\lambda-1)\dots(\lambda-k+1)\gamma(\gamma-1)\dots(\gamma-n+k+1)$$
   也就是：
   $$=\frac{1}{n!}\binom{n}{k} \cdot \lambda(\lambda-1)\dots(\lambda-k+1)\gamma(\gamma-1)\dots(\gamma-n+k+1)$$

   现在考虑多项式$(1+t)^\lambda(1+t)\gamma=(1+t)^{{\lambda+\gamma}$，两边作为形式幂级数，$t}n$的系数必须相等——左边$t^{n$的系数就是$\sum_{k=0}}n \binom{\lambda}{k}\binom{\gamma}{n-k}$，右边就是$\binom{\lambda+\gamma}{n}$，所以这个恒等式天然成立。

   换个角度用生成函数理解：两边的生成函数本质都是$(1+t)^{\lambda+\gamma}$，系数必然一一对应相等。

4. 回到原问题，既然乘积后的每一项系数都和$(1+X)^{\lambda+\gamma}$的对应系数完全一致，而幂级数（无论是收敛域内的解析函数还是形式幂级数）具有唯一性，所以等式必然成立。

如果之前用归纳法卡壳了，大概率是没聚焦到系数的卷积恒等式上，这个广义范德蒙德卷积是解决问题的核心钥匙，它是整数阶范德蒙德卷积的自然推广，对复数指数完全适用。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Lucas G