双矢量间变换的表示及相关坐标映射问题问询

嘿，这个问题问到点子上了——这其实是几何代数里线性变换向高阶几何元素延拓的经典场景，咱们从2D的具体情况一步步拆解：

首先，先明确2D空间里双矢量的特殊性：2D中所有双矢量都是基双矢量（比如$e_1 \wedge e_2$）的标量倍数，换句话说，双矢量构成一个1维的线性空间。这是理解M的坐标表示的关键前提。

假设咱们给2D空间取标准基$e_1, e_2$，线性映射$L$对应的矩阵是：

L = [[a, b],
     [c, d]]

现在取两个向量$v_1 = x_1 e_1 + y_1 e_2$，$v_2 = x_2 e_1 + y_2 e_2$，它们的双矢量$b_1 = v_1 \wedge v_2 = (x_1 y_2 - x_2 y_1) e_1 \wedge e_2$——这个系数其实就是$v_1, v_2$构成的平行四边形的有向面积。

接下来算$L(v_1) \wedge L(v_2)$：

• $L(v_1) = (a x_1 + b y_1) e_1 + (c x_1 + d y_1) e_2$
• $L(v_2) = (a x_2 + b y_2) e_1 + (c x_2 + d y_2) e_2$

把它们外积展开，所有交叉项最终会合并成：
$$L(v_1) \wedge L(v_2) = (ad - bc)(x_1 y_2 - x_2 y_1) e_1 \wedge e_2 = \det(L) \cdot b_1$$

所以映射$M$在2D双矢量空间的坐标表示，其实就是乘以$L$的行列式——因为双矢量是1维空间，M的“矩阵”就是一个标量$\det(L)$。

那M和L是不是不同？答案是肯定的：

• $L$是作用在2维向量空间上的线性变换，对应2×2矩阵；
• $M$是作用在1维双矢量空间上的线性变换，对应1×1的标量矩阵（也就是行列式本身）。
  二者的作用空间维度、变换结构完全不一样，是两个不同的映射。

补充一句：这个结论可以推广到更高维空间，此时M被称为$L$的k阶外幂变换（这里k=2），n维空间里的k阶外幂变换对应$\binom{n}{k}$维空间上的线性变换，坐标表示是由L的子行列式构成的矩阵，2D刚好是$\binom{2}{2}=1$维的特殊情况。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Makogan