求具有PSL(2,7)及四元数8阶群Q₈为自同构群的最小图的技术咨询

你好！针对你提出的这两个关于「给定群作为自同构群的最小图」的问题，我来梳理一下相关结论，同时帮你解决关于Fano平面的困惑：

一、自同构群为PSL(2,7)的最小图 #

PSL(2,7)是阶为168的有限单群，它的极小忠实置换表示是在7个点上的（因为它在GF(7)上的线性作用是2-传递的），所以存在7个顶点的图，其自同构群恰好是PSL(2,7)，这也是目前已知的最小顶点数（PSL(2,7)无法忠实地作用于少于7个点的集合上）。

你提到的Fano平面确实和这个问题相关，但你可能用错了图的构造方式：

• 如果你直接把Fano平面的7个点作为顶点，仅将共线的点连边（每个点和同线上的另外2个点相连，得到每个顶点度数为3的图），这个图的自同构群理论上应该是PSL(2,7)。你在Mathematica里得到阶为6的结果，大概率是构造过程出错了——比如只导入了Fano平面的部分边，而非全部7条线对应的所有两两边。正确的构造代码参考：

pts = FanoPlane[];
edges = Flatten[Subsets[#, {2}] & /@ pts];
g = Graph[edges, VertexLabels -> "Name"];
AutomorphismGroupOrder[g]

运行这段代码应该会返回168。

• 另一种等价构造：以Fano平面的点为顶点，两个顶点连边当且仅当它们不共线（每个顶点度数为4），这个图的自同构群同样是PSL(2,7)，因为Fano平面的自同构恰好保持这个「非共线」的邻接关系。

二、自同构群为四元数群Q₈的最小图 #

Q₈是8阶非交换群，它对应的最小图顶点数是8。

一个经典的构造方式是：

• 把Q₈的8个元素作为图的顶点，定义两个顶点u和v相连当且仅当v = u*g，其中g是Q₈的生成元（即i、-i、j、-j、k、-k中的任意一个）。
• 这个图的自同构群恰好是Q₈：每个自同构对应Q₈的左乘作用，且不存在额外的自同构（Q₈的结构限制了没有其他方式能保持邻接关系）。

不存在顶点数更少的图以Q₈为自同构群，因为Q₈无法忠实地作用于少于8个点的集合上（它的中心是2阶子群，商群是Klein四元群，极小忠实置换表示需要8个点）。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Eric Kubischta