关于含第一类完全椭圆积分的积分I(a,b)的闭式求解与处理方法问询

我目前在研究如下形式的积分：
$$
I(a,b)=\int_{0}^{1} x^{a-1}(1-x){b-1}K\left ( \sqrt{x} \right ) \text{d}x,
$$
其中$K(k)$表示模数为$k$的第一类完全椭圆积分，$K^\prime(k)$是其互补积分。

目前我已经整理出了不少有理点$(a,b)$对应的$I(a,b)$的结果，这些内容都更新在我最新版本的笔记里了。

现在我想请教大家两个问题：

• 我们能否找到更多单个$I(a,b)$的闭式表达式？
• 有没有更多可以用来处理这类积分$I(a,b)$的方法？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者蜜柑しぇっり