基于球面随机点分布的直线分布及曲面交点分布问题咨询
我最近在研究一个几何概率相关的问题，想请教大家的思路：
核心问题
给定球面$S^2$上的概率分布$P(x,y,z)$，如果随机选取两个独立服从$P$的点$p_1, p_2$，生成直线$L: p_1 + \lambda(p_2 - p_1)$，我想知道：
- 这条直线$L$的分布是什么样的？
- 另外，如果有一个由方程$F(x,y,z)=0$定义的二维曲面$\mathcal{M} \subset \mathbb{R}^3$，那么直线$L$与$\mathcal{M}$的交点在$\mathcal{M}$上的分布又是什么？
同时我也想把这个问题推广到更一般的情况：如果$p_1$和$p_2$分别来自球面$S^2$上的两个不同分布$P_1$和$P_2$，上述两个问题的答案会有什么变化？
背景与动机
这个问题和Crofton公式有关，它建立了$\mathbb{R}n$中曲面的表面积与随机直线交点数之间的联系。我看到有研究用这个公式来估计$\mathbb{R}3$中几何体的表面积，而我想把这个思路推广到曲面$\mathcal{M}$上非均匀分布的场景。
我的尝试过程
为了推导交点的分布密度，我做了如下定义和推导：
- 对于曲面$\mathcal{M}$上的点$p=(x,y,z)$，用$\hat{n}(p)$表示该点的单位法向量，即$\hat{n}(p)=\frac{\nabla F}{|\nabla F|}$；
- 对于球面$S^2$上的点$s$，用$\hat{n}_S(s)$表示球面在该点的单位法向量，也就是$\hat{n}_S(s)=\frac{s}{|s|}$；
- 设$Q(p)$为采样过程在$\mathcal{M}$上生成的交点密度函数，当直线$s_1\to s_2$（其中$s_1,s_2\in S^2$）经过$p$时，我推导得到$Q(p)$的积分表达式：
$$
Q(p) = \int_{s_1 \in S^2} \int_{s_2 \in S^2} \left( \frac{(s_1 - s_2) \cdot \hat{n}(p)}{|(s_1 - s_2)| \cdot |\hat{n}(p)|} \right) \cdot \left( \frac{(s_1 - s_2) \cdot \hat{n}_S(s_1)}{|(s_1 - s_2)| \cdot |\hat{n}_S(s_1)|} \right) \cdot \left( \frac{|s_1 - p||s_2 - p|}{|s_1 - s_2|^2} \right) \cdot P(s_1) \cdot P(s_2) ds_1 ds_2
$$
我来解释一下每个项的含义：
- 第一项$\frac{(s_1 - s_2) \cdot \hat{n}(p)}{|(s_1 - s_2)| \cdot |\hat{n}(p)|}$：代表直线$L$与$\mathcal{M}$在$p$处单位法向量的夹角余弦$\cos\theta$；
- 第二项$\frac{(s_1 - s_2) \cdot \hat{n}_S(s_1)}{|(s_1 - s_2)| \cdot |\hat{n}_S(s_1)|}$：代表直线$L$与球面在$s_1$处法向量的夹角余弦（由于对称性，这个角度在$s_2$处是一样的）；
- 第三项$\frac{|s_1 - p||s_2 - p|}{|s_1 - s_2|^2}$：这是$s_1$到$p$、$s_2$到$p$的距离比值。我是通过相似直角三角形推导的：考虑由$(s_1,s_2)$、$(s_1,s_1+ds_1)$、$(s_1+ds_1,s_2)$构成的直角三角形，以及对应的$(p,s_2)$、$(p,p+dp)$、$(p+dp,s_2)$构成的全等三角形，可以得到$\frac{dp}{ds_1}=\frac{|s_1-p|}{|s_1-s_2|}$，同理对$s_2$也有类似项，两者相乘就得到了这个比值。
遇到的困惑
我用离散近似的方法来验证这个推导：
- 用Fibonacci格点生成球面$S^2$上近似均匀的点集$A$；
- 生成环面上的均匀点集；
- 对环面上的每个点$p$，遍历每个$s_1\in A$，找到直线$s_1\to p$与球面$S^2$的交点中最接近的$s_2$；
- 用这些$(s_1,s_2)$对计算被积函数并求和，以此近似$Q(p)$。
按照预期，这个近似应该得到大致均匀的$Q(p)$值，但实际结果却显示$Q(p)$和点$p$的x、y、z坐标存在奇怪的相关性，从以下散点图可以看出：
- x坐标 vs Q(p)
- y坐标 vs Q(p)
- z坐标 vs Q(p)
我不确定是推导过程中哪里出了问题，还是离散近似的方法有漏洞，希望能得到大家的指点。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者TLong
