L²(ℝ)空间中序列(φₙ)不弱收敛到0_E的α值求解求助

嘿，我来帮你搞定弱收敛不成立的部分！首先回忆一下$L^2(\mathbb{R})$中弱收敛的定义：序列$(\varphi_n)$弱收敛到$0_E$，当且仅当对任意$f \in L^2(\mathbb{R})$，都有
$$\lim_{n \to \infty} \int_{\mathbb{R}} \varphi_n(x) f(x) dx = 0$$

要找$\alpha>0$使得这个不成立，我们只需要构造一个特定的$f \in L^2(\mathbb{R})$，让上面的极限不为0就行。

步骤1：选一个合适的测试函数 #

取$f(x) = \frac{1}{1+x^{2}$，很容易验证它属于$L}2(\mathbb{R})$，因为：
$$\int_{\mathbb{R}} |f(x)|^2 dx = \int_{\mathbb{R}} \frac{dx}{(1+x²⁾2} = \frac{\pi}{2} < \infty$$

步骤2：计算积分$\int_{\mathbb{R}} \varphi_n(x) f(x) dx$ #

把$\varphi_n(x) = \frac{n^{3/2}}{n{2\alpha} + x^2}$代入，得到积分：
$$
I_n = n^{3/2} \int_{\mathbb{R}} \frac{dx}{(n^{2\alpha} + x^2)(1+x2)}
$$

用部分分式分解拆分被积函数：
$$
\frac{1}{(n^{2\alpha} + x^2)(1+x2)} = \frac{1}{n^{2\alpha} - 1} \left( \frac{1}{1+x^2} - \frac{1}{n^{2\alpha} + x^2} \right)
$$

代入积分计算（利用已知积分$\int_{\mathbb{R}} \frac{dx}{a^2+x2} = \frac{\pi}{a}$）：
$$
\begin{aligned}
I_n &= \frac{n^{3/2}}{n{2\alpha} - 1} \left( \int_{\mathbb{R}} \frac{dx}{1+x^2} - \int_{\mathbb{R}} \frac{dx}{n^{2\alpha} + x^2} \right) \
&= \frac{n^{3/2}}{n{2\alpha} - 1} \left( \pi - \frac{\pi}{n^\alpha} \right) \
&= \frac{\pi n^{3/2} (n^\alpha - 1)}{n^\alpha (n^{2\alpha} - 1)}
\end{aligned}
$$

注意到$n^{{2\alpha}-1=(n}\alpha-1)(n^\alpha+1)$，约分后：
$$
I_n = \frac{\pi n^{3/2}}{n\alpha (n^\alpha + 1)} = \frac{\pi n^{\frac{3}{2} - \alpha}}{n^\alpha + 1} = \frac{\pi n^{\frac{3}{2} - 2\alpha}}{1 + n^{-\alpha}}
$$

步骤3：分析$I_n$的极限（$n \to \infty$） #

当$n$趋于无穷大时，$n^{-\alpha} \to 0$，所以$I_n$的渐近行为由$n^{\frac{3}{2} - 2\alpha}$决定：

• 若$\frac{3}{2} - 2\alpha > 0$，即$\boldsymbol{\alpha < \frac{3}{4}}$：$n^{\frac{3}{2}-2\alpha} \to \infty$，因此$I_n \to \infty$，显然不趋于0；
• 若$\frac{3}{2} - 2\alpha = 0$，即$\boldsymbol{\alpha = \frac{3}{4}}$：$I_n \to \pi \cdot \frac{1}{1+0} = \pi \neq 0$，极限不为0；
• 若$\frac{3}{2} - 2\alpha < 0$，即$\boldsymbol{\alpha > \frac{3}{4}}$：$n^{\frac{3}{2}-2\alpha} \to 0$，因此$I_n \to 0$。

另外补充一点：当$\alpha \leq \frac{1}{2}$时，$(\varphi_n)$的$L^{2$范数$|\varphi_n|_{L}2} = \sqrt{\frac{\pi}{n^{3\alpha-3}}}$会趋于无穷大，而弱收敛的序列必然是范数有界的，这也能直接推出此时序列不弱收敛到0。

结论 #

当且仅当$\boldsymbol{0 < \alpha \leq \frac{3}{4}}$时，序列$(\varphi_n)$不弱收敛到$0_E$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ali h