关于实数集上σ有限测度的证明问题问询

嗨，我来帮你梳理下这个问题的解决思路，其实你已经抓住了关键的两个点——$\mathbb{Q}$的可数性和稠密性，只需要把它们和σ有限测度、开区间测度的定义结合起来就行：

一、证明$\mu$是σ有限测度 #

首先回忆σ有限测度的定义：如果存在可数个可测集${E_n}_{n=1}^{\infty$，使得$\bigcup_{n=1}}\infty E_n = \mathbb{R}$，且对每个$n$，$\mu(E_n) < +\infty$，那么$\mu$就是σ有限的。

我们可以利用$\mathbb{Q}$的可数性构造符合要求的集合序列：

• 因为$\mathbb{Q}$是可数集，所以能把所有有理数枚举成一个序列：$\mathbb{Q} = {q_1, q_2, q_3, \dots}$
• 对每个正整数$n$，定义集合$A_n = {q_1, q_2, \dots, q_n}$，每个$A_n$是有限个单点集的并，而单点集属于Borelσ代数$\mathscr{B}(\mathbb{R})$，因此$A_n$是可测集，且$\mu(A_n) = n < +\infty$
• 再取$E_0 = \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$，这个集合也是Borel集（$\mathbb{Q}$是可数Borel集，补集自然属于Borelσ代数），且$\mu(E_0) = 0$（集合内没有有理数）

现在$\mathbb{R} = E_0 \cup \bigcup_{n=1}^\infty A_n$，这是可数个测度有限的可测集的并，完全符合σ有限测度的定义，所以$\mu$是σ有限的。

二、证明每个开子区间的测度无穷 #

这里要用到$\mathbb{Q}$在$\mathbb{R}$中的稠密性：稠密性的定义是$\mathbb{R}$中任意开区间$(a,b)$都至少包含一个有理数，但我们需要进一步推导区间内有无穷多个有理数：

• 假设某个开区间$(a,b)$里只有有限个有理数，设为${r_1, r_2, \dots, r_k}$，把它们按从小到大排序：$a < r_1 < r_2 < \dots < r_k < b$
• 考虑子区间$(r_1, r_2)$，这也是一个开区间，根据稠密性，这个区间里应该存在有理数，但我们已经假设$(a,b)$内的有理数只有${r_1, \dots, r_k}$，这就产生了矛盾
• 因此任何开区间$(a,b)$里都包含无穷多个有理数，根据$\mu$的定义，$\mu((a,b))$就是区间内有理数的个数，也就是$+\infty$，即每个开子区间的测度无穷。

这样就完成了整个题目的证明啦，你之前想到的$\mathbb{Q}$的可数性和稠密性正是这两部分证明的核心，只是需要把它们和定义更紧密地结合起来~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Matthew