关于$C^1([0,1])$及紧集$T\subset\mathbb{R}^N$上$C^1(T)$定义的等价性疑问

我知道这个问题已经被问过很多次了，但请各位多包涵——这里有个细节一直让我摸不着头脑。

我之前一直以为自己吃透了$C^1([0,1])$的定义，但最近在这儿提问后，评论区的讨论让我意识到，我可能对这个概念有根本性的误解。我原本的认知是：$f \in C^1([0,1])$意味着$f$在$[0,1]$上连续，并且在$[0,1]$上连续可微。

但现在我发现，我根本没搞懂“函数在闭集上连续可微”到底指的是什么。以下两种解释，哪种才是正确的？

• 表述(1)：$f$在$(0,1)$上连续可微，且在$0$点存在右导数、$1$点存在左导数，最终得到的导数函数在$[0,1]$上连续。
• 表述(2)：存在一个包含$[0,1]$的开集$U$，使得$f$在$U$上连续可微。

或者，这两个表述其实是等价的？我之前一直默认表述(1)是标准定义，甚至还由此类推，觉得对任意紧集$T\subset \mathbb{R}^N$，也能给出类似的定义：

$$\textbf{(1*)} \quad f \in C^1(T) ~\text{ iff } ~f \text{ is continuously differentiable on }\text{Int}(T) \text{ and, for any}$$
$$\text{ sequence of points tending to }\partial T\text{, the limit of the}$$
$$\text{ derivative at those points is well-defined and gives a continuous}$$
$$\text{ extension of the derivative on }\text{Int}(T)$$

（对于$T$的孤立点，这个定义自动成立，即 vacuously true）

但现在我意识到这好像不是标准定义，我参考的一些文本在这一点上表述得模棱两可。而基于表述(2)，紧集$T$上的另一种定义可以写成：

$$\textbf{(2*)} \quad f \in C^1(T) ~\text{ iff } ~\exists \text{ an open set }T'\supset T, \text{ such that }f \in C^1(T')$$

我想知道：$\textbf{(1*)}$和$\textbf{(2*)}$这两个定义是否等价？如果不等价，有没有具体的反例？我感觉$\textbf{(1*)}$的条件有点像惠特尼延拓定理的思路，而$\textbf{(2*)}$则和$\mathbb{R}^N$中带边界的光滑流形上可微性的定义方式很像（类似John Lee在《光滑流形导论》里的定义）。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者JDoe2