关于概率与矩阵的疑问：二阶矩阵乘积至少含一个偶元素的概率计算

问题背景 #

设集合 $S = {2, 3, 5, 7, 11}$，现有两个二阶矩阵A和B，每个矩阵的所有元素均为集合$S$中的不同元素。需要求解矩阵$AB$中至少有一个偶元素的概率。

我的解题尝试 #

我没有直接计算目标概率，而是打算用补集思想：先计算“$AB$所有元素都是奇数”的概率，再用1减去这个值得到结果。不过试算后我产生了一个想法——是不是这种全奇数的乘积矩阵根本不存在？

二阶矩阵相乘的表达式如下：
$$\begin{bmatrix}a & b\c & d\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}k & l\m & n\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}ak+ bm & al + bn\ck + dm & cl + dn\end{bmatrix}$$

我先尝试把矩阵A中的$a$设为2，其他元素取集合$S$里的不同元素，此时乘积矩阵的第一行元素是奇数，但第二行全是偶数（毕竟奇数+奇数=偶数）。后来我想在矩阵A里再放一个2，但题目要求每个矩阵的元素必须是集合中的不同元素，所以每个矩阵最多只能包含一个2。

基于这个尝试，我得出结论：不存在乘积矩阵全是奇数的情况，那么“至少有一个偶元素”的概率应该是1。但对照答案后发现正确答案是0.96，这说明我的思路肯定有问题。

我的疑问 #

是不是我的解题思路哪里出错了？或者我漏掉了某些可能的情况？

真心希望有人能直接解答我的疑问，而不是修改我提问的格式。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Iloveharmonics123