关于多维Itô公式的两处理解确认问询

你好！针对你对多维Itô公式的两个疑问，我来逐一帮你确认：

第一个疑问：$\partial_t f(s,X_s)$的含义 #

你的理解完全正确！$\partial_t f(s,X_s)$就是函数$f$关于第一个变量（时间变量）的偏导数在点$(s,X_s)$处的取值，也就是：
$$\partial_t f(s,X_s)=\left.\frac{\partial f}{\partial t}\right|_{(t,x)=(s,X_s)}$$

你一开始的困惑非常合理——毕竟表达式$f(s,X_s)$里并没有出现$t$，但这里的$\partial_t$是针对函数$f$本身的时间参数求偏导，而非对积分变量$s$求导。简单来说，$f$是定义在$[0,\infty)\times\mathbb{R}^d$上的二元函数：$(t,x)\mapsto f(t,x)$，我们先对它的第一个变量$t$求偏导得到$\partial_t f(t,x)$，再把$(t,x)$替换为$(s,X_s)$，就得到了$\partial_t f(s,X_s)$。

第二个疑问：一维布朗运动下的Itô公式 #

这个结论也是完全正确的！当$X$是一维布朗运动$B$时，根据布朗运动的核心性质，它的二次变差满足$[B,B]_t = t$，对应的微分形式就是$d[B,B]_s = ds$。

把这个代入原多维Itô公式：

• 此时维度$d=1$，且布朗运动是连续鞅，所以$X=B=M$（$A=0$）
• 原公式中的最后一项$\frac{1}{2}\int_0^{t\sum_{k,l=1}}d\partial^2_{xkx^{l}f(s,X_s)~d[M}k,M^{l]_s$就简化为$\frac{1}{2}\int_0}t \partial^2_{x2}f(s,B_s) d[B,B]_s$
• 替换$d[B,B]s=ds$后，这一项就变成$\frac{1}{2}\int_0^t\partial2{x^2}f(s,B_s)~ds$

最终就得到你写出的公式：
$$f(t,B_t)=f(0,B_0)+\int_0^t \partial_t f(s,B_s)~ds+\int_0^t \partial_{x}f(s,B_s) _{dB_s+\frac{1}{2}\int_0^t\partial^2_{x^2}f(s,B_s)}ds$$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Summerday