关于代数集上$k$-有理点定义的困惑及推导验证请求

我正在自学入门级别的代数几何，感觉自己可能哪里理解错了，想请大家帮我指出问题所在：

基本设定 #

设$k$是不一定代数闭的域，$V \subset \mathbb{A}^n$是不一定不可约的代数集。

• 我们用记号$\mathcal{I}(V) = { f \in k[x_1, \dots, x_n] \mid (\forall p \in V)(f(p) = 0) }$，定义$V$的坐标环为$k[V] = k[x_1, \dots, x_n]/\mathcal{I}(V)$，可以把$k[V]$中的每个元素看作$V$上的$k$-值多项式函数。

关于点$v \in V$的理想与局部环推导 #

对任意$v \in V$，我们定义$\mathcal{I}(v) = { f \in k[V] \mid f(v) = 0 }$：

• 因为$\mathcal{I}(v)$是满射$k$-代数同态$\mathrm{ev}_v \colon k[V] \to k$（定义为$\mathrm{ev}_v(f) = f(v)$）的核，所以可以得到同构$k[V]/\mathcal{I}(v) \cong k$，由此可知$\mathcal{I}(v)$是$k[V]$的极大理想。

接下来我通过局部化定义$V$在$v$处的局部环：
$$\mathcal{O}{v, V} = (k[V] \setminus \mathcal{I}(v))^{-1} k[V]$$
已知这是一个局部环，其唯一极大理想为：
$$m{v, V} = (k[V] \setminus \mathcal{I}(v))^{-1} \mathcal{I}(v)$$
由于$\mathcal{I}(v)$是$k[V]$的极大理想，我们可以推出同构$\mathcal{O}{v, V}/m{v, V} \cong k[V]/\mathcal{I}(v) \cong k$。

我的困惑 #

Dummit-Foote（第729页，习题28）定义：若$\mathcal{O}{v, V}/m{v, V} = k$成立，则$v \in V$是$V$的$k$-有理点。

按照上面的推导，是不是对任意域$k$、任意代数集$V$，$V$中的每个点都是$k$-有理点？我现在非常困惑，希望有人能帮我理清这个误解。

补充说明 #

• P.S. Dummit-Foote只在$V$不可约且$k$代数闭的情况下定义了$V$在$v$处的局部环，所以上面的局部环定义只是我的猜测，如果错了请告诉我正确的定义。
• P.S.2 我在英文维基百科上查阅有理点相关文章时，发现我从Dummit-Foote学到的代数集定义和维基百科不一致：我之前理解的代数集$V$是$\mathbb{A}^n = k^{n$的子集，但维基百科说$V$是$\overline{k}}n$的子集（$\overline{k}$表示$k$的代数闭包）。所以我猜测我的推导是正确的，Dummit-Foote只是引入了“$k$-有理点”这个技术术语？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Kazune Takahashi